Контрольные задания по высшей математике ТвГТУ

Контрольная работа №1

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Элементы линейной алгебры. Введение в математический анализ

Задача 1. Используя теорему Кронекера – Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений и решить её двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

	х + 2y – z = 6,		–3x + y + 2z = 4,		–2x + 3y + 4z = 11,
1.	2x – y + z = 5,	2.	2x – y – z = –3,	3.	x – y – 2z = –5,
	–x + 3y + 2z = 5.		4x + 3y – 3z = 7.		3x + y – z = 4.
	–2x – y + 5z = 16,		–5x + y + z = 1,		–4x + 2y – z = –5,
4.	3x + y – 2z = –3,	5.	2x – 3y + 2z = 9,	6.	2x – y + 3z = 5,
	–x – y + z = 1.		3x + 2y – z = 0.		x + y – 2z = 2.
	x + 8y – 3z = 4,		–8x – y + 3z = 10,		7x – 4y + z = 9,
7.	–3x – y + 2z = —5,	8.	3x + 2y – 7z = –8,	9.	3x + y – z = 8,
	2x + 2y – 4z = 6.		2x – y + z = –2.		–2x – 2y + 3z = –9.
	x + 8y – 3z = 29,		–x + y + 2z = 3,		–5x + 6y –3 z = –4,
10.	–3x – y + 2z = –9,	11.	4x – 3y –3 z = 1,	12.	10x – 2y – 5z = –6,
	2x + 2y – 4z = 6.		2x + y – z = 9.		2x + 5y – 4z = 3.
	–7x + 4y + 5z = 8,		—4x + 6y + 2z = 30,		2x – 9y + 8z = 9,
13.	2x + y – 2z = 1,	14.	9x + 5y – z = –12,	15.	4x + 3y – 17z = 6,
	3x – 5y + 6z = —23.		–5x – 2y + 11z = 9.		–x + 7y + 3z = 5.
	5x + 2y – 4z = 12,		–9x – 5y + 3z = 20,		2x – 2y + 13z = –3,
16.	–4x – 3y + 9z = –2,	17.	7x + 6y + 8z = 3,	18.	4x + 3y + 9z = 4,
	3x – y – 2z = –7.		x – 21y – 4z = 12.		–x + 10y – 6z = –8.
	9x + 5y – z = –5,		8x – 9y – 2z = 6,		2x – 7y + 4z = –5,
19.	–7x – 3y + 4z = 20,	20.	4x + 2y + 3z = 23,	21.	7x + 2y – 9z = 39,
	5x – 7y + 3z = 15.		–7x – 7y + 4z = 6.		3x – y + 2z = 17.
	4x + 8y + 3z = 4,		3x – 5y + 2z = 0,		–2x + 8y – 5z = 9,
22.	5x – 3y + 2z = –15,	23.	–2x + 4y – z = 1,	24.	3x – 5y – 2z = 15,
	3x + 8y – z = –8.		–x – 3y – 7z = 5.		x + 9y + 3z = –6.
	6x – 5y + z = –3,
25.	3x + y – 2z = 6,
	–5x + 2y + 3z = 7.

Задача 2. Даны векторы a (a₁; a₂; a₃), b (b₁; b₂; b₃), c (c₁; c₂; c₃) и d (d₁; d₂; d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

1.	a (2; 3; 1),	b (1; 2; 4),	c (3; 1; 2),	d (5; 4; 3).
2.	a (5; 4; 2),	b (3; 2; 1),	c (1; 5; 4),	d (13; 10; 5).
3.	a (5; 4; 3),	b (4; 5; 2),	c (3; 2; 4),	d (18; 14; 13).
4.	a (4; 2; 1),	b (2; 1; 3),	c (1; 3; 2),	d (19; 12; 9).
5.	a (5; 3; 1),	b (4; 5; 3),	c (3; 4; 2),	d (24; 14; 4).
6.	a (5; 4; 1),	b (2; 1; 4),	c (4; 3; 5),	d (26; 21; 1).
7.	a (6; 5; 2),	b (4; 3; 5),	c (5; 4; 3),	d (33; 28; 6).
8.	a (6; 5; 3),	b (5; 4; 2),	c (3; 2; 4),	d (41; 34; 24).
9.	a (6; 2; 1),	b (5; 3; 4),	c (3; 5; 2),	d (52; 20; 7).
10.	a (6; 3; 1),	b (4; 1; 5),	c (5; 2; 4),	d (51; 27; 1).
11.	a (0; –1; 2),	b (3; 1; 1),	c (–2; 0; –1),	d (3; –3; 6).
12.	a (–1; 4; –3),	b (1; 1; 1),	c (6; 0; –2),	d (7; 20; –19).
13.	a (2; 3; –1),	b (1; –1; 2),	c (–3; 4; 0),	d (5; –12; 3).
14.	a (2; –1; 3),	b (–1; –1; –1),	c (4; –4; 5),	d (8; –3; 10).
15.	a (1; 1; 1),	b (–2; –3; 2),	c (–1; 2; 4),	d (–7; –21; –2).
16.	a (1; –2; 5),	b (–2; 3; 4),	c (–1; 2; 7),	d (9; –16; 5).
17.	a (0; –1; –4),	b (1; 1; 1),	c (2; –3; 5),	d (4; 4; 27).
18.	a (2; –2; 3),	b (3; 1; 7),	c (–1; 2; 3),	d (12; –4; 23).
19.	a (2; –3; 3),	b (–1; 5; 0),	c (2; 3; –8),	d (8; 7; –7).
20.	a (–5; 3; –2),	b (4; –1; 3),	c (–3; 2; –2),	d (–11; 10; –4).
21.	a (4; 1; –8),	b (3; –2; –9),	c (2; 7; 4),	d (–2; 8; 16).
22.	a (2; –3; 5),	b (1; 2; –3),	c (2; –3; 1),	d (2; –10; –4).
23.	a (1; 3; –4),	b (2; –5; 4),	c (–3; 2; –1),	d (4; 1; –9).
24.	a (–4; 3; 1),	b (2; –4; –3),	c (1; 3; 2),	d (—5; 10; 0).
25.	a (5; –1; 2),	b (–2; 3; –1),	c (2; 1; 1),	d (7; 0; 3).

Задача 3. Даны координаты вершин тетраэдра АВСD: А(а₁; а₂; а₃), В(в₁; в₂; в₃), С(с₁; с₂; с₃) и D(d₁; d₂; d₃). Найти: 1) уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно медиане, проведенной из вершины В треугольника ABC; 2) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC; 3) координаты точки, симметричной точке A относительно плоскости ВCD. Сделать чертёж.

1.	A (1; 1; 1),	В (6; 2; 1),	С (2; 6; 1),	D (2; 2; —1).
2.	A (1; —2; 2),	В (6; 3; 2),	С (2; 5; 2),	D (1; 3; 3).
3.	A (4; —2; 0),	В (7; —6; 0),	С (7; 2; 0),	D (3; 2; 1).
4.	A (1; 4; —1),	В (—4; —2; —1),	С (0; —2; —1),	D (—1; —2; —2).
5.	A (1; 2; —2),	В (—7; —3; —2),	С (—3; 2; —2),	D (—3; 2; 0).

6.	A (—1; —1; 3),	В (2; 1; 3),	С (6; 3; 3),	D (2; —2; 1).
7.	A (5; 7; —3),	В (0; —3; —3),	С (4; —1; —3),	D (—4; —3; 1).
8.	A (—1; 5; 1),	В (3; —6; 1),	С (7; —2; 1),	D (3; 4; —4).
9.	A (—2; 1; 4),	В (2; 2; 4),	С (0; 6; 4),	D (2; 1; 3).
10.	A (—2; —1; —4),	В (2; 0; —4),	С (0; 4; —4),	D (—6; —2; 5).
11.	A (4; 2; 5),	В (—3; —3; 5),	С (—1; 1; 5),	D (2; —3; —5).
12.	A (—2; 4; 0),	В (2; 2; 0),	С (6; —6; 0),	D (—1; 4; 4).
13.	A (2; 5; —1),	В (—2; 1; —1),	С (0; —3; —1),	D (—2; —5; 5).
14.	A (—2; —3; —5),	В (6; 0; —5),	С (8; 6; —5),	D (—2; —4; 5).
15.	A (1; 3; —3),	В (—6; —7; —3),	С (2; —5; —3),	D (—2; —3; —1).
16.	A (—4; 4; 5),	В (1; 3; 5),	С (3; —1; 5),	D (—3; 2; —4).
17.	A (4; 3; 2),	В (—1; 1; 2),	С (3; 1; 2),	D (5; 1; —3).
18.	A (—2; 3; 0),	В (0; —2; 0),	С (2; 2; 0),	D (—2; —4; —1).
19.	A (0; 0; 1),	В (4; 3; 1),	С (8; 3; 1),	D (1; 3; 4).
20.	A (7; 2; —6),	В (—6; —4; —6),	С (—4; 2; —6),	D (0; 6; 2).
21.	A (1; —3; 1),	В (—4; 2; 1),	С (0; 4; 1),	D (—6; —4; —1).
22.	A (1; —1; 3),	В (—3; 0; 3),	С (—1; 4; 3),	D (—1; 6; 4).
23.	A (—4; —1; —1),	В (3; —2; —1),	С (7; 6; —1),	D (1; —2; 3).
24.	A (—3; 1; 2),	В (4; —4; 2),	С (2; 0; 2),	D (—2; 4; 6).
25.	A (3; 3; —1),	В (2; —1; —1),	С (—2; —5; —1),	D (—5; —4; 1).

Задача 4. Линия задана уравнением r = r() в полярной системе координат. Требуется:

1. построить линию по точкам, начиная от  = 0 до  = 2 и придавая  значения че- рез промежуток /8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

1. r = 3/(1 + 2cos).	2. r = 2/(1 + cos).	3. r = 3/(1 – cos).
4. r = 1/(2 – cos).	5. r = 4/(1 + 3cos).	6. r = 4/(2 +3 cos).
7. r = 2/(4 – cos).	8. r = 5/(1 – 7cos).	9. r = 6/(4 + 2cos).
10. r = 14/(6 + cos).	11. r = 3/(1 – 2cos).	12. r = 1/(3 + 3cos).
13. r = 3/(2 – 2cos).	14. r = 1/(2 – 5cos).	15. r = 6/(4 – cos).
16. r = 21/(4 + 3cos).	17. r = 3/(4 + 5cos).	18. r = 10/(5 – 6cos).
19. r = 12/(1 + 4cos).	20. r = 8/(6 – 3cos).	21. r = 4/(5 – 5cos).
22. r = 7/(6 + 6cos).	23. r = 12/(4 + 2cos).	24. r = 9/(6 + 4cos).
25. r = 10/(6 + 3cos).

Задача 5. Задана функция y = f(x). Найти точки разрыва функции, если они существу- ют. Сделать чертеж.

2^x ,

• 1. f (x)  1,

x  1,

x  1; x  1; x  1.

2 x ,

• 1. f ( x )  4  2x,

2x  7,

x  1;

1  x  2,5;

x  2,5.

2cos x,

• 1. f (x)  1,

   x   ;

x   ;

arctgx,

arccosx,

4. f (x) 

x  0; 0  x  1;

(x   )²  2,

3x 1,

x   .

x  2;

x  1,

x  1.

x  5;

 x  1,

1. f (x)   2x  6,

3 x 3  1,

2  x  3;

x  3.

1. f (x)  

2,

(x

 4)²  1,

5  x  6;

x  6.

x  4,

x  3;

(x  1)³  1,

x  1;

1. f (x)  x²  2x,  3  x  0;



(2



1. f (x)    x)²  1,

1  x  4;

 ln( x  1),

 0,5x² 1,

1. f (x)  x ln x,

1/ x,

x  0.

x  0; 0  x  1;

x  1.

5,



arctg x,

1. f (x)  x  1,

(3  x)³  2,

x  4.

x  0;

0  x  3;

3  x  5.

e^x ,

1. f (x)  x ctg x,

 x  5,

2^x ,

13. f (x)  log ₂ x,

x  0;

0  x   / 2;

 / 2  x  6.

x  0;

0  x  2;

x²,

12. f (x)   x,



(1 x)³,

x  2,

1. f (x)  x²  2x,

x  1;

1  x  1; 1  x  3.

x  2;

 2  x  1;

0,5x,

xe ^x ,

x  2.

x  0;

 2log 4 x,

x  1,

1  x  4.

x  1;

1. f (x)   sin x,

x  5,

 3,

0  x   ;

x   .

x  1;

1. f (x)  arccosx,

(x  1)² ,

(x   )² ,

sin

 1  x  1;

x  1.

x   ;



17. f (x) 

3arcsin x,

 1  x  0;

1. f (x)   2 x,    x   ;

 x  4,

 x  1,

1. f (x)  ln( x  1),

x  0.

x  1; 1  x  2;

(x   )³  1,

x  3  1,

1. f (x)   0,5x  1,

x   .

x  2;

 2  x  0;

x²  6x  8, x  2.

2(x  1)² , x  1;

2x  2  2,

ln x, x  0;

x  0.

1. f (x)   x  1,  1  x  1;
2. ​

f (x)  x  2, 0  x  1;

4x  x²  3, x  1.

ln x, x  1.

1. ​

 x,

f (x)  2  x ,

 ₂

 x,

x  1;

1 x  2;

x  2.

1. ​

x  3,

f (x)  2,

xe^{ x} ,

x  0;

x  0;

x  0.

arctg x,

x  1;

1. f (x)  arcsin(x 1), 1  x  2;

x / 4,

x  2.

Задача 6. Найти пределы функций.

1. а)

в)

lim

x4

lim

 3 ; б)

1

2x  1

x  3  1

(x  2^x ) x ; г)

lim

x0

lim

x ctg3x ;

(x  2)[ln x  ln( x  1)].

1. а)

x

lim

1  x 

 

2x

³ x 1

; б)

x

ctg⁴ 2x

lim 4 ;

x1

x 0 ctg 4x

в) lim

x00

xtg x ; г)

lim

x

x[ln x  ln( x  2)].

1. а)

lim

x

x 

x²  x ; б)

lim (x  1)ctgx ;

x1

в) lim (e^x  x² )^{ctg x} ; г)

x0

x⁷  x³  1

3x

lim (x  4) x 5 .

x5

1  sin 3x

1. а)

lim

x x(x3

 2)

2 ; б)

lim

x  / 2

;

tg 2x

в) lim

x 00

(cosx)^lnx ; г)

lim (1  tg x)^{ctg x} .

x

ex  e x

1. а)

lim

x ex

 e x ; б)

lim

x0

x(ctgx  ctg3x);

в) lim

x10

(x²  1)^sinx ; г)

lim (1  x)^{2 / x} .

x0

1. а)

x³  2x  4

lim 2

; б)

lim

x³  x  2

;

x 2x

 x  3

x1

sin x

 x  3 2 x

в) lim (e^x  e^x )^x ; г)

lim   .

x00

3x⁴  3x  1

x  x  1 

1  cos5x

1. а)

lim

x 1  2x  x⁴

; б)

lim ;

x0 x2

1

в) lim

x00

(arcsin x)^x ; г)

lim (15  7x) x 2 .

x2

1. а)

lim

x

5x³  2x  1

(3  x)³

; б)

lim

x 0

x ctg x  1

x

; в)

lim

x1

1

x1 x ; г)

x 1

lim (2x  5) x 3 .

x 3

x  3

 x 1/ x

 x  13x

1. а)

3  3x

lim

; б)

lim (2  x)ctgx ; в)

lim   ; г)

lim   .

x3

x2

x0 sin x 

x x  1

1. а) lim

x³  5x²  7x  3

; б)

lim

xsin

1 ; в)

lim

(ctgx)^sinx ; г)

1

lim (1  5x) x .

x1 x³  6x²  9x  4

4x⁴  2x²

x x

sin ² 2x

x00

1

x0

 x  1x

1. а)

lim

; б)

lim

; в)

lim (cosx) x2 ; г)

lim   .

x x⁴  3x  1

2  x  x⁴

x 0

x tg x

x0

x x  1

 3x  1x

1. а)

lim

; б)

lim

x ctg2x ; в)

lim

(x²  1)^1x ; г) lim   .

x sin x  4x⁴

x0

x10

x 3x  1

x³  5x

 x 2



 2x  1x

1. а)

lim

4 ; б)

lim  

 ; в)

lim

x

; г)

lim   .

x (3x  2)

4x⁶  5x

x 2  tg x

tg² 2x

sin x 

x

x

2x 

1 x

1. а)

lim

x (2x  1)

3 2

; б)

lim

x 0 tg x

2

; в)

lim

x00

(arcsin x)^tgx ; г)

lim (1  2x) x .

x0

1

x

x²  2x  1

tg³ 3x

 1 x x

1. а) lim 4

; б)

lim 3

; в)

lim 1  2  ; г) lim (4x  3) x 1 .

x1 x





 4x  3

x 0 tg 2x

x x 

x1

1. а) lim

cos² (x) 1

; б)

x x

lim  1

 ctg x ; в)

lim

xsinx ; г)

2x

lim (2x  3) x 2 .

x0

x 0 sin x

 3 xsin 4x

2  x

 x00

 1 ^x

x2

ctg x

1. а)

lim

; б)

lim 2

; в)

lim cos  ; г)

lim (1  2 tg x) .

x 7

7  x

x  x  1

x x 

x0

1. а)

lim

5x²  x  1

; б)

lim

sin x  sin 2x

; в)

lim

; г)

2x

lim (5  x) x 4 .

x

4x⁴  5x

x²  x⁶  1

x0 sin 3x  sin 4x

(x   )²

x

 1 x

x x3

x4

 x  2 5x

1. а)

lim

2 3 ; б)

lim 2 ; в)

lim   ; г)

lim   .

x (2x



 2)

x  tg 3x

x00 tg x 

x x  1 

1. а)

lim  3 

5  ; б)

lim

ctg2x

; в)

lim ^sinx x ; г)

x  2

lim (1  x) 5x .

x1 x³ 1

9  x



x⁵ 1

x  ctg5x

x 1

x0

1. а)

lim

x

5x⁴  x  7

(x²  x)²

; б)

lim

x 0

 3 tg 2x

; в)

lim

x00

xarcsin3x ; г)

x

lim (4  x) x 3 .

x3

x²  x  12

sin ³ x

x ctg 4x

 x  3 2x

1. а)

lim

; б)

lim 3

; в)

lim e

; г)

lim   .

x3

sin( x  3)

x 0 tg 5x

x0

x x  1 

(x  1)sin x

arctg3x

 1  x 5 x

1. а)

lim

2 ; б)

lim

; в)

lim

x ln sin x ; г)

lim   .

x 2x  1  x

x 0 7x

x00

x 3  x 

1. а)

lim

x(x  1)⁴

; б)

lim

sin 3x

; в)

lim

(arctgx)^x ; г)

x 1

lim (1  4x) 7 x .

x

(x  1)⁵

x 0 arcsin x

x00

x0

1. а)

lim

2x³  x  2

; б)

lim

tg² 3x

; в)

lim

; г)

x x5

2x

lim (2x 1) x 1 .

x 4  x2  x3

x 0 xsin 5x

x

x1

Контрольная работа № 2

Производная и ее приложение. Приложения дифференциального исчисления

Задача 7. Найти производные dy/dx данных функций.

x

1. а)

5x²

y 

x²  1

; б)

y  tg²

1  arcsin ;

x2

2  x

в) y  (sin x)^{ln x} ; г) tg(x  y)  xy²  5 .

1. а)

y  (x  1)

3x  1

3x 1

; б)

y  cos³ 

x  4 ln ² (2x 1) ;

в) y  (cos2x)^{ch x} ; г) xcos y  ysin x  x  y .

x  1

1. а)

y  5x

; б)

y  ln ⁴ (x  1)  sin ⁴ (2 /

x) ;

в) y  (x²  2)^x2 ; г)

x³  1

ln( x²  y)  arcsin xy 1.

1. а) y 

(x  3) x²  x  1

5x ; б)

y  e^x2  x sin³ 4x ;

в) y  (tg x)^{ctg 2x} ; г) arctg(x  y)  x cos y³ .

3

x²  2x  1

x  2

1. а)

y 

; б)

y  arcsin²

(34x

/ x) ;

в) y  (x² 1)^4x ; г) y 

x²  y

4

x³  x²  1

x  1

2

 sin( xy) .

2

1. а)

y 

; б)

y  tg

x  ln cos

(4x) ;

в) y  (x cosx)^{sin x} ; г) arccos(x / y)  ln( x  y)  x .

1. а)

(x  1)(x²  2)

y 

3x  1

; б)

y  sin

4  x 

 42x ;

в) y  (x⁴  x)^{th x} ; г) x tg y  y ctgx  yx .

(x²  4) x  1

x 1

3 1

1. а) y 

2x⁴  1

; б)

y  3

ctg (x ) ;

в) y  (sin x)^{lnsin x} ; г) ln( x  y)  xln y  4 .

3x² x  1

4 2  x

1. а)

y  x⁴  1

; б)

y  arctg 1  x  5 ;

в) y  (sh x)^{2ch 2x} ; г)

x3

x⁴  y²  xsh y  sin y .

cos 3x

1. а) y 

(x⁴  1) x  1

; б)

y  6

ln( x / sin x);

в) y  (arcctgx² )

^x ; г)

ln(sin x  cos y)  x  y .

1. а)

(x³  5)³ 1  x

y  (x 1)(x²  3) ; б)

y  4^5x

arcsin²

3x ;

в) y  (x²  1)^{tg x} ; г) xsin y  ysin x .

1. а)

y 

 ³ x  1 ; б)

y  sin ² x  1  ;

x⁴ (2  x)

1  x

в) y  (log5 x)^{ln x} ; г)

 

 

x

2^xy  (xy)² .

1. а)

x² (x³  1)

y  (x⁵  1)³

; б)

y  x⁴

tg²

(x  4) ;

в) y  x^{ctg x} ; г) arcsin(xy)  arccos(xy)  y .

1. а)

x sin ⁵ x

y  x³  1

; б)

y  (x²

1) arcctg³ x ;

в) y  (cosx)^{tg x} ; г)

x(x 1)

3

x ² 1

arctgx / y  y / x .

2

1. а)

y 

; б)

y  sin x  ctg

(8x) ;

в) y  (ln x)^x ; г) cos(x  y)  x tg y .

1. а)

(1  x² )x

y  ; б)

1  3x

y  7

cos 7 x

ctg²

(x  x² ) ;

в) y  (x²  1)^4x ; г) x⁴  y⁴  ctg(x²  y² ) .

1. а)

x³(2x  1)

y 

(x²  1)⁵

; б)

y  ln

3 (x2

1)  arcctgx ;

в)

1. а)

в)

y  (x²  2)^{сtg 2x} ; г)

y  ; б)

4

(3x  2)x

(8  x)

5

y  (log4 x)^{sin 4x} ; г)

xy  sin( y  x)  x .

y  e^1x cos(x² 1) ;

arctg(xy)  arcctg(x / y) .

(x⁵  4) x

1. а) y 

x(4  x³)

; б)

y  (tg x  ctgx)log ₂ (2x);

в) y  (arccos2x)

x²  4

^x ; г)

tg(x²  y² )  2cos(x  y) .

x 2

x

1. а) y 

; б)

x(x  2)

y  e

sin ;

в) y  x^{arctg x} ; г) 5^xy  sin( y / x) .

8

x³(3x  1)⁵

(3x  4)

4

1. a)

y 

; б)

y  ln

³ (x)  cos⁴

5x² ;

в) y  (xsin x)^{sin x} ; г)

x⁵  8x

xarcsin y  y arccos x .

1. а)

y  ; б)

(3  x)³

y  ctg5x  ;

в) y  (ln x)^{ln x} ; г)

ln(2x)

x³ 1  x²

x³ y⁴  arctg(xy  4) .

2x 4

1. а) y 

; б)

y  5

cos x ;

в) y  x^3x 5^x ; г) y tg x  xctg y  x  y .

x³  1

1. а)

y  (x  5)

; б)

y  log

₄ (3x 1)  arcsin(5x) ;

в) y  (x²  1)^arctgx ; г) y⁴x⁴  x²  y² .

x

⁵ x⁴ 1

3x  1

1. а)

y  (x  2)

; б)

y  7^x2 cos⁷ (3x);

в) y  (cosx)^{cos x} ; г) cos² (x  y)  sin( xy) .

⁵ 1  x³

Задача 8. Найти dy/dx и d²y/dx² для заданных функций: а) y = f(x); б) x = (t), y = (t).

1. а)	y  x4 ln x ;	б)	x  t  sin t, y  cos2t .
2. а)	y  x2 arctgx ;	б)	x  tg t, y 1/sin t .
3. а)	y  xarcctgx ;	б)	x  sht, y  cht  t 2 .
4. а)	y  ln tg 4x ;	б)	x  2t  t 2, y  4t3 .
5. а)	y  4x sin 2x ;	б)	x  cost, y  ln sin t .
6. а)	y  x 1  x2 ;	б)	x  et , y  arccost .
7. а)	y  x2ex ;	б)	x  cost  t sin t, y  t cost .
8. а)	y  sin( x3  1) ;	б)	x  arctgt, y  t3.
9. а)	y  tgsin x ;	б)	x  ln cost, y  t  ln sin t .
10. а)	y  x / sin 2 x ;	б)	x  t 4  t, y  t 4  t .
11. а)	y  x 1  x2 ;	б)	x  cos2 t, y  sin2 t .

1. а)

y  e^{cos 3x} ; б)

x  t ² ,

y  t³  t .

1. а)
2. а)

y  tg² (1  x); б)

y  e^tg5x ; б)

x  sin³ t,

x  arctgt,

y  cos³ t .

y  t ² .

1. а)

y  x²  arctg2x ; б)

x  2t  sin t,

y  2  cost .

1. а)

1  x²

y  x³ /(x 1) ; б)

x  ln t,

y  arctgt .

1. а)

y 

 arcsin x ; б)

x  e^t ,

y  te^2t .

1. а)
2. а)
3. а)
4. а)

y  x³  cos3x ; б)

y  ln x  sin x ; б)

y  x  tg x ; б)

y  x² / sin x ; б)

x  t³  t, x  sin 2t, x  e^t sin t,

x  arctgt,

y  t³  t .

y  cos2t .

y  e^t cost .

y 1/ t .

1. а)

y  sin x  arctgx ; б)

x  (t ²  4),

y  ln t .

1. а) y  e^2x cosx ; б)

x  tgt,

y 1/ cost .

1. а)

y  x² arcsin x ; б)

x  esin2t ,

y  ecos2t .

1. а)

y  x²  1 ; б)

x  sin ² t,

y  ctg² t .

Задача 9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a, b].

1. f(x) = x⁴ + 8x³ – 0,5x² – 6x +2, [–3; 1]. 2. f(x) = (cosx + 1)e^x, [–; ].

3. f(x) = 0,25x⁴ + x³ –2x² – 12x +3, [–4; 1]. 4. f(x) = sin²x + cosx, [0; 2].

5. f(x) = 0,25x⁴ + 3x³ + 13x² + 24x, [–5; –3]. 6. f(x) = x/(1 + x²), [0; 2].

7. f(x) = 0,25x⁴ + x³ – 5x² – 24x +4, [–5; 2]. 8. f(x) = x² e^-x, [–1; 3].

9. f(x) = 1,5x⁴ – x³ + 15x² – 15x +2, [–2; 1]. 10. f(x) = x – 2

x

, [0; 4].

11. f(x) = tg²x – cosx, [3/4; 5/4]. 12. f(x) = 36/(1 — x) + x², [-3; 0].

13. f(x) = (x³ – 4)e^x, [–1; 2]. 14. f(x) = x cosx, [/2; ].

15. f(x) = x sinx, [–/2; /2]. 16. f(x) = (x³ – 4)e^x, [–3; 0].

17. f(x) = sin⁴x + cos⁴x + x³, [–4; 4]. 18. f(x) = 8/(1+ x) + x², [0; 3].

19. f(x) = (sinx – 1)e^x, [–; ]. 20. f(x) = x³ — 3 sinx, [–3; 3].

21. f(x) = 3x⁴ – 8x³ – 12x² – 36x, [–1; 4]. 22. f(x) = 2x⁵ – 5x² + 8, [–2; 2].

23. f(x) = x arctgx – 0,5ln(x² + 1), [—1; 1]. 24. f(x) = (x² – 1)/(1 + x²), [–2; 2]

1. f(x) = arctg[(1– x)/(1+ x)], [0; 1].

Задача 10. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y = f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график.

1. y = 2x/(4 – x2).	2. y = 3x3/(x3 – 8).	3. y = (x4 + x2)/(x4 – 1).
4. y = 5x2/(x2 – 2x – 3).	5. y = –x/(x2 – 5x + 4).	6. y = x3/(x2 + x – 6).
7. y = (1 – 3x2)/(x2 – 9). 10. y = x2 + x3/(1 – x). 13. y = ln(16 – x2).	8. y = x3/(16 – x4). 11. y = xe-x. 14. y = (4x2 + 2x) e2x-1.	9. y = x + x/(x – 2). 12. y = xe-1/(x — 4). 15. y = ln(x2 + x).
16. y = x2/e2x.	17. y = x – 3lnx.	18. y = ex/(1 + x)3.
19. y = ex/(x2 – 3).	20. y = x – 2arctgx.	21. y = x2lnx.
22. y = (x – 4)e—2x.	23. y = 2/(x2 + x – 6).	24. y = x2/(x – 1).
25. y = 4x/(x – 2)2.

Задача 11.

• 1. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается открытая прямоуголь- ная коробка. Какова должна быть сторона вырезанных квадратов, чтобы объем короб- ки был наибольшим?
  2. Из данного круга вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить конус с наибольшим объемом.
  3. Завод расположен на расстоянии 10 км от железной дороги, идущей в город, и на расстоянии 100 км от этого города. Под каким углом к железной дороге следует про- вести шоссе с завода, чтобы доставка грузов из завода в город была наиболее дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в 2 раза дороже, чем по железной дороге?
  4. Шар свободно скатывается по наклонной плоскости. Если горизонтальное осно- вание наклонной плоскости остается неизменным, то каков должен быть угол наклона, чтобы время скатывания шара было наименьшим?
  5. Водный канал должен иметь заданную глубину и заданную площадь поперечного сечения. Если поперечное сечение есть равнобочная трапеция, то каким должен быть угол наклона ее боковых сторон, чтобы при движении воды по каналу потери на со- противление трения были наименьшими.
  6. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наиболь- шее количество света?
  7. Из круглого бревна, диаметр которого равен 16 см, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? Сопротивление балки на изгиб пропорционально ширине и квадрату высоты.
  8. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стои- мость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна x руб., а стенок – y руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на ма- териал для изготовления были наименьшими?
  9. Выбрать место для постройки моста через реку, текущую вдоль прямой, чтобы длина дороги между пунктами A и B, расположенными по разные стороны от реки, была наименьшей. Расстояние от A до реки равно 2,4 км, от B – 7,2 км, AB = 26 км. Ширина реки 400 м.
  10. Груз весом 300 кг, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть при- ложенной к нему силой. Под каким углом  к горизонту нужно направить силу, чтобы она была наименьшей. Коэффициент трения  = 0,2.
  11. Резервуар, который должен иметь квадратное дно и быть открытым сверху, нуж- но выложить внутри свинцом. Каковы должны быть размеры резервуара емкостью 108 л, чтобы выкладка требовала наименьшего количества свинца?
  12. Требуется изготовить цилиндр, открытый сверху, стенки и дно которого имеют толщину 0,5 см. Каковы должны быть размеры цилиндра емкостью 512 л, чтобы при данной вместимости на него пошло наименьшее количество материала?
  13. Чтобы по возможности уменьшить трение жидкости о стенки канала, площадь, смачиваемая водой, должна быть наименьшей. Показать, что лучшей формой откры- того прямоугольного канала с заданной площадью поперечного сечения является та- кая, при которой ширина канала вдвое превышает его высоту.
  14. Из полукруга радиусом 10 см вырезают равнобочную трапецию. Определить угол трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.
  15. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь составляла 800 м², а длина забора была наименьшей?
  16. От канала шириной 4 м отходит под прямым углом другой канал шириной 2 м. Какой наибольшей длины бревна можно сплавлять по этим каналам из одного в дру- гой (не учитывая толщины бревен)?
  17. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями 40 и 50 км/ч. Улицы пересекаются под углом 60^о. В начальный момент времени маши- ны находятся на расстоянии 5 и 4 км от перекрестка (соответственно). Через какое время расстояние между ними станет наименьшим?
  18. Решеткой длиной 120 м нужно огородить с трех сторон прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки?
  19. На прямой между двумя источниками света силы F₁ и F₂ найдите наименее освещенную точку, если расстояние между источниками света 24 м. (Освещенность точки обратно пропорциональна квадрату расстояний ее от источника света.)
  20. Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна 480 рублям в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна 30 рублям в час. Тре- буется определить, при какой скорости общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей.
  21. Два коридора шириной 2,4 м и 1,6 м пересекаются под прямым углом. Опреде- лить наибольшую длину лестницы, которую можно перенести (горизонтально) из од- ного коридора в другой.
  22. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
  23. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
  24. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
  25. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается во- круг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

Задача 12. Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычис- лить кривизну линии r = r(t) в точке t_o.

1. r(t) = t² i + (1 – t³) j + (3t – 4) k ; t_o = 1.
2. r(t) = sint i + (cost – 1) j + t² k ; t_o = 1.
3. r(t) = e^t i + ( t² + 2t) j + (e^t – e^-t) k ; t_o = 0.
4. r(t) = te^t i + ( e^t + t) j + (t² – e^t) k ; t_o = 0.
5. r(t) = (e^t – t) i + (t + e^t) j + e^—2t k ; t_o = 1.
6. r(t) = e^tsint i + e^tcost j — e^t k ; t_o = 0.
7. r(t) = sint i + cost j + 2tk ; t_o = /4.
8. r(t) = sin²t i + cos²t j + t k ; t_o = /2.
9. r(t) = sint i + tgt j + 2t k ; t_o = /4.
10. r(t) = tgt i +(t + cos2t) j + costk ; t_o = /4.
11. r(t) = arctgt i + t² j + (2t — 4) k ; t_o = 1.
12. r(t) = t²lnt i + 2t j + (t² — 3t) k ; t_o = 1.
13. r(t) = ln(t + 1) i + e^2t j + (sint + t) k ; t_o = 0.
14. r(t) = (t² + 2t) i +(t — t³) j + (t² + 2) k ; t_o = 1.
15. r(t) = (t³ — 1) i +(2t + 1) j + t² k ; t_o = 1.
16. r(t) = tlnt i + (t² + lnt) j + (t + 2) k ; t_o = 1.
17. r(t) =ln(t² + 1) i + t² j + (t³ — 1) k ; t_o = 1.
18. r(t) = t²lnt i + 2t j + (t² + 3) k ; t_o = 1.
19. r(t) = e^t i + e^-t j + (e^t + e^-t) k ; t_o = 0.

20. r(t) = tgt i + ctgt j + t/k ;	to = /4.
21. r(t) =e2t i + tet j + (t2 + 1) k ;	to = 0.
22. r(t) = arctgt i + sint j + t3 k ;	to = 0.
23. r(t) = (e2t — t) i + et j + (t — 2) k ;	to = 0.
24. r(t) = (t4 – 2) i + (t3 + 1) j + t k ;	to = 1.
25. r(t) = tg2t i + sin2t j + t3 k ;	to = 0.