Теория вероятностей и математическая статистика

Варианты: 10, 15, 17
  • ID работы: 15269
  • Учебное заведение:
  • Добавлена: 2022
  • Посл. изменения: 6-01-2022
  • Тип:  .
  • Предмет: Математика
  • Формат: docx

Цена: 800.00руб.

Выберите нужный вариант - отобразится его стоимость - нажмите В корзину:
Очистить

Указания по выбору варианта

 

Рабочей программой дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» предусмотрено выполнение типового расчета, состоящего из двух контрольных работ. Контрольная работа по теории вероятностей состоит из 9 контрольных задач (№1 — 9), а контрольная работа по математической статистике из 2 контрольных задач (№10-11). Варианты задач контрольной работы по теории вероятностей и выборки для контрольной работы по математической статистике содержатся в индивидуальном задании, которое студент получает у преподавателя ведущего практические занятия.

Задания по курсу ТВ и МС формируются специальной программой и содержат случайно выбранные варианты девяти задач по теории вероятностей, выборку одномерной случайной величины для задачи 10 и выборку двумерной случайной величины для задачи 11.

Контрольная работа №1. Теория вероятностей

Задача 1. Случайные события. Вероятность события

Условия вариантов задачи

Ниже приведены 40 вариантов задачи 1. Номер варианта задачи, которую студент должен решить, указан в индивидуальном задании.

 

В задачах 1.1-1.5 подбрасываются две игральные кости.

1.1. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел равна восьми.

1.2. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел делится без остатка на шесть.

1.3. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел превышает 10.

1.4. Определить вероятность того, что выпадут одинаковые числа.

1.5. Определить вероятность того, что выпадут разные, но четные числа.

1.6. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров — белый, а другой — черный.

1.7. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут одинакового цвета.

1.8. На десяти карточках написаны  буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К.  После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово “математика”.

1.9. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что все цифры одинаковы.

1.10. Условие задачи 1.9. Вычислить вероятность того, что все цифры четные.

1.11. Условие задачи 1.9. Вычислить вероятность того, что номер не содержит цифры пять.

1.12. Условие задачи 1.9. Вычислить вероятность того, что все цифры различные и  расположены в порядке возрастания (соседние цифры отличаются на 1).

В задачах 1.13-1.19 наудачу взяты два положительных числа x и y, причем x £ 5,  y £ 2. Найти вероятность того, что   y+ax-b £ 0  и   y-cx £ 0.

1.13. a=1, b=5, c=1.

1.14. a=1, b=5, c=0,5.

1.15. a=1, b=5, c=0,25.

1.16. a=1, b=5, c=2.

1.17. a=2, b=10, c=2.

1.18. a=2, b=10, c=1.

1.19. a=2, b=10, c=0,5.

В задачах 1.20-1.23 из колоды в 36 карт (6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т) наугад извлекаются три карты.

1.20. Определить вероятность того, что будут вытащены карты одной масти.

1.21. Определить вероятность того, что будут вытащены три туза.

1.22. Определить вероятность того, что будут вытащены карты разных мастей.

1.23. Определить вероятность того, что среди извлеченных карт не будет 9.

1.24. На плоскости проведены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 8 см. Определить вероятность того, что наугад брошенный на эту плоскость круг радиусом 3 см не будет пересечен ни одной линией.

1.25. В урне пять белых и восемь черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

В задачах 1.26-1.30 номер автомобиля содержит четыре цифры, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9 (возможен номер 0000).

1.26. Определить вероятность того, что вторая цифра номера равна четырем.

1.27. Определить вероятность того, что номер содержит хотя бы одну цифру 0.

1.28. Определить вероятность того, что первые три цифры номера равны пяти.

1.29. Определить вероятность того, что номер делится на 20 .

1.30. Определить вероятность того, что  номер не содержит цифры 2.

1.31. В урне 6 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают шар – отмечается его цвет и он возвращается в урну, после этого вынимают второй шар. Найти  вероятность того, что шары будут разных цветов.

1.32. Условие задачи 1.31. Найти вероятность, что шары будут белые.

1.33. Условие задачи 1.31. Найти вероятность, что шары будут одинакового   цвета.

1.34. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из урны  вынимают сразу 6 шаров. Найти вероятность того, что среди 6-и вынутых шаров будут 2 белых и 4  черных.

1.35. Условие задачи 1.34. Найти вероятность того, что все шесть шаров черные.

1.36. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что случайно набранный номер оканчивается на 123.

1.37. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что случайно набранный номер оканчивается на 444.

1.38.  Проводится залп из трех орудий по цели. Вероятности попадания в цель из первого орудия 0,4 , из второго – 0,7 , из третьего – 0,9 . Найти  вероятность хотя бы одного попадания в цель.

1.39. Условие задачи 1.38. Найти вероятность того, что попало третье орудие, а  1 и 2 не попали.

1.40. Условие задачи 1.38. Найти вероятность того, что попало первое орудие, а 2 и 3 не попали.

 

 

Методические указания

 

Случайное событие – любой факт в опыте со случайным исходом, который может произойти или не произойти. Любое случайное событие А, возможное в данном опыте, есть некоторое подмножество универсального множества  исходов этого опыта.

Событие А называется достоверным, если , т.е. происходит в каждом опыте.

Событие А называется невозможным, если , т.е. никогда не происходит в данном опыте.

Противоположным событием  называется событие, которое происходит тогда, когда не происходит событие А.

Суммой или объединением двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее в появлении или события А, или событии В, или А и В одновременно.

Произведением или пересечением двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее в появлении и события А, и события В одновременно или совместно.

Несовместными событиями А и В называются такие, которые не могут произойти одновременно в одном опыте. Для несовместных событий .

Аксиома 1. Вероятность p(А) случайного события А есть функция множества элементарных исходов, благоприятных событию А, и вероятность любого события принимает значения

,                                                   (1.1)

причем .

Аксиома 2. Вероятность суммы несовместных случайных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(1.2)

Следствие аксиом 1 и 2: Вероятность прямого события  и вероятность противоположного события  связаны соотношением

.                                                             (1.3)

Классическое определение вероятности: вероятность события А определяется по формуле

,                                                (1.4)

где  n – число всех возможных, равновероятных исходов данного опыта;

        m – число исходов,  благоприятствующих появлению события.

Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую область случайным образом бросается точка T, причем все точки области равноправны в отношении попадания точки T.

Рис. 1.1

Тогда за вероятность попадания точки T в область A принимается отношение

,                                             (1.5)

где S(A) и S() — геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областей A и соответственно.

Основные комбинаторные формулы

При решении задач по классическому определению вероятности используются следующие комбинаторные формулы.

Размещения:

– без повторений элементов

(1.6)

– c повторением элементов

(1.7)

Формулы для размещений позволяет подсчитать количество комбинаций из n  элементов по m, где комбинации будут отличаться как самими элементами, так и расположением их относительно друг друга.

Сочетания:

– без повторений элементов

.                        (1.8)

– с повторением элементов

(1.9)

Формулы для сочетаний позволяет подсчитать количество комбинаций из n  элементов по m, где комбинации будут отличаться только самими элементами, т.е. каждая комбинация хотя бы одним элементом должна отличаться от другой.

Перестановки:

(1.10)

Формула для перестановок позволяет подсчитать количество комбинаций из n элементов, где комбинации будут отличаться только расположением их относительно друг друга.

Примеры

Пример 1.1. Какова вероятность того, что наудачу взятый телефонный номер из 7 цифр имеет все цифры различные.

Решение. Определим событие А. Событие А состоит в том, что в семизначном номере все цифры различны. Так как номер семизначный, а цифр всего 10, то общее число исходов n опыта равно числу размещений c повторением элементов из 10 по 7: . Для подсчета благоприятствующих исходов подходит формула для размещений без повторения элементов : . Тогда

.

Пример 1.2. Наудачу взяты два положительных числа x и y, причем . Найти вероятность того, что  и , если .

Решение. Подставляя значения коэффициентов в неравенства, получаем:

(1.11)

Строим на рис. 1.2 оси координат и область, которая определяет пространство элементарных событий Ω. Она задается неравенствами  и на рисунке 1.2 отображается в виде прямоугольника.

Рис. 1.2.

Площадь прямоугольника . Область благоприятствующих исходов определяется неравенствами (1.11), поэтому строим на рисунке прямые, которые задаются неравенствами (1.11). Заштрихованная на рисунке 1.2 область и описывает благоприятствующие исходы (с учетом всех возможных значений), площадь этой заштрихованной трапеции равна  [у. е.]. Тогда вероятность события А равна

.

 

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

 

Условия вариантов задачи

Ниже приведены 40 вариантов задачи 2. Номер варианта задачи, которую студент должен решить, указан в индивидуальном задании.

 

В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5 q6=0,6 . Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

 

Условия вариантов задачи

Ниже приведены 40 вариантов задачи 3. Номер варианта задачи, которую студент должен решить, указан в индивидуальном задании.

 

3.1. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции  производится первым станком, 25% — вторым и 45% — третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором — 0,988 и на третьем — 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

3.2. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. При одновременном выстреле всех трех стрелков оказалось одно попадание. Определить вероятность того, что попал первый стрелок.

3.3. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3 , для второго — 0,5 , для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

3.4. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075 , а на втором — 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартна.

3.5. На распределительной  базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено на первом заводе и 40% — на втором. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных на первом заводе, 90 соответствуют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных на втором заводе, соответствуют стандарту 80. Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка с базы будет соответствовать стандарту.

3.6. Три стрелка  производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6 , для второго — 0,5 , для третьего — 0,4 . В результате произведенных выстрелов в мишени оказалось две пробоины. Найти вероятность того, что в мишень попали второй и третий стрелки.

3.7. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3 , для второго — 0,5 , для третьего — 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведен вторым стрелком.

3.8. На наблюдательный пункт станции установлены четыре радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,86 , второго — 0,90 , третьего — 0,92 , четвертого — 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели?

3.9. Среди шести винтовок пристреленными оказываются только две. Вероятность попадания из пристреленной винтовки равна 0,9, а  из непристреленной — 0,2. Выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Определить вероятность того, что взята пристреленная винтовка.

3.10. Приборы одного наименования изготавливаются на трех заводах. Первый завод поставляет 45% всех изделий, поступающих на производство, второй — 30% и третий — 25%. Вероятность безотказной работы прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,8 , на втором — 0,85 и на третьем — 0,9. Определить вероятность того, что прибор, поступивший на производство, исправен.

3.11. Группа студентов состоит из пяти отличников, десяти хорошо успевающих и семи занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что студент получит хорошую или отличную оценку.

3.12. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом  ящике 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

3.13. В первой урне пять белых и 10 черных шаров, во второй — три белых и семь черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар — белый.

3.14. В тире имеется три ружья, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5; 0,7; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если ружье выбрано наугад.

3.15. Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Определить вероятность того, что откажет два блока.

3.16. Условие задачи 3.15. Определить вероятность того, что откажет один блок.

3.17. Условие задачи 3.15. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал один блок.

3.18. Условие задачи 3.15. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали два блока.

3.19. Условие задачи 3.15. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали три блока.

3.20. Условие задачи 3.15. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали второй и третий блоки.

3.21. Условие задачи 3.15. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали первый и второй блоки.

3.22. Условие задачи 3.15. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали первый и третий блоки.

3.23. Условие задачи 3.15. В результате испытаний один блок вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал третий блок.

3.24. Условие задачи 3.15. В результате испытаний один блок вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал первый блок.

3.25. Условие задачи 3.15. В результате испытаний один блок вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал второй блок.

3.26. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули шар. Вычислить вероятность того, что шар белый.

3.27. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из каждого ящика вынули шар. Затем из этих трех шаров наугад взяли один шар. Вычислить вероятность того, что шар белый.

3.28. Приборы одного наименования изготавливаются на трех заводах. Первый завод поставляет 45% всех изделий, поступающих на производство, второй — 30% и третий — 25%. Вероятность безотказной работы прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,8 , на втором — 0,85 и на третьем — 0,9. Прибор, поступивший на производство, оказался исправным. Определить вероятность того, что он изготовлен на втором заводе.

3.29. Три стрелка производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6 , для второго — 0,5 , для третьего — 0,4. В результате произведенных выстрелов в мишени оказалось две пробоины. Найти вероятность того, что в мишень попал второй стрелок.

3.30. Три стрелка производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6 , для второго — 0,5 и для третьего — 0,4. В результате произведенных выстрелов в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

3.31. На наблюдательный пункт станции установлены четыре радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,8 , второго‑ 0,95 , третьего ‑ 0,98 , четвертого ‑ 0,93. Наблюдатель включает  два локатора. Найти вероятность обнаружения цели.

3.32. На наблюдательный пункт станции установлены четыре радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,8, второго ‑ 0,95 , третьего ‑ 0,98 , четвертого — 0,93. Наблюдатель  включает три локатора. Найти вероятность обнаружения цели.

3.33. На наблюдательный пункт станции установлены четыре радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,7 , второго ‑ 0,8 , третьего ‑ 0,9 , четвертого ‑ 0,93. Наблюдатель включает один локатор. Найти вероятность обнаружения цели .

3.34. Условие задачи 3.11 . Найти вероятность того, что студент получит отличную оценку .

3.35. Условие задачи 3.11 . Найти вероятность того, что студент получит неудовлетворительную оценку.

3.36. Условие задачи 3.11 . Найти вероятность того, что студент получит хорошую оценку.

3.37. В двух коробках содержатся резисторы: в 1-й ‑ 5 резисторов номиналом 1 Ом и мощностью рассеивания 1 Вт , 6 резисторов- 1 Ом , 2 Вт . Во 2-ой : 4 резистора 2 Ом; 2 Вт; 4 резистора 1 Ом , 2 Вт . Найти вероятность того , что наудачу вынутый резистор из произвольной коробки имеем номинал 1 Ом и мощность рассеивания 1 Вт.

3.38. Условие задачи 3.37 . Найти вероятность того, что наудачу вынутый резистор из произвольной коробки имеет номинал 1 Ом , 1 Вт.

3.39. Условие задачи 3.37. Вынутый резистор из произвольной коробки имеет номинал 1 Ом, мощность 2 Вт. Из какой коробки он скорее всего вынут?

3.40. Электрическая схема прибора состоит из  4-х микросхем. Работа каждой микросхемы необходима для работы прибора. Прибор вышел из строя . Надежности каждой микросхемы соответственно равны: 0,9 ; 0,95 ; 0,97 ; 0,99 . Найти вероятность того, что вышли из строя  вторая и третья микросхемы.

Задача 4. Формула Бернулли

 

Условия вариантов задачи

Ниже приведены 40 вариантов задачи 4. Номер варианта задачи, которую студент должен решить, указан в индивидуальном задании.

 

4.1. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?

4.2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. По мишени производится четыре независимых выстрела. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.

4.3. Техническая система состоит из пяти узлов. Вероятность отказа в течение времени t для каждого узла равна 0,2. Система выходит из строя, если откажут три и более узлов. Найти вероятность выхода из строя этой системы за время t, если отказы в узлах происходят независимо друг от друга.

4.4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?

4.5. Вероятность изготовления изделия отличного качества равна 0,9. Сколько надо должно быть деталей в партии, чтобы наивероятнейшее число изделий отличного качества было равно 10?

4.6. По данным технического контроля в среднем 2% изготавливаемых на заводе автоматических станков нуждается в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из шести изготовленных станков четыре нуждаются в дополнительной регулировке?

4.7. Рабочий обслуживает десять однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 0,05. Найти вероятность того, что в течение часа этих требований будет от трех до пяти.

4.8. В мастерской работает десять моторов. Вероятность того, что мотор  работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент времени  не менее восьми моторов работает с полной нагрузкой.

4.9. Вероятность появления события А в каждом из 15 независимых опытов равна 0,3. Определить вероятность появления события А по крайней мере два раза.

4.10. Вероятность появления события С в каждом из 10 независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления события С хотя бы восемь раз.

4.11. Монету подбрасывают восемь раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений герба?

4.12. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,3. Произведено 12 бросков. Найти вероятность того, что будет 10 попаданий.

4.13. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

4.14. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что шесть раз она упадет гербом вверх?

4.15. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения снега 12 октября в данном городе равна 1/3. Сколько лет должны проводиться метеонаблюдения, чтобы наивероятнейшее число снежных дней 12 октября в данном городе было равно 20.

4.16. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.

4.17. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что в мишени будет одно или два попадания.

4.18. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что в мишени будет три попадания.

4.19. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?

4.20. При установившемся технологическом процессе 90% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Сколько изделий должно находиться в ящике, чтобы наивероятнейшее число изделий высшего сорта в ящике составило 340 изделий.

4.21. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что она четыре раза упадет гербом вверх?

4.22. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,9. Произведено 12 бросков. Найти вероятность того, что будет 11 или 12 попаданий.

4.23. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.

4.24. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы пять попаданий в мишень.

4.25. Монету подбрасывают десять раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх от трех до пяти раз?

4.26. Монету подбрасывают 100 раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?

4.27. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,95. Произведено десять бросков. Найти вероятность того, что будет девять попаданий.

4.27. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,9. Произведено 12 бросков. Найти вероятность того, что будет не менее 11 попаданий.

4.29. Рабочий обслуживает десять однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 0,05. Найти вероятность того, что в течение часа будет хотя бы одно требование.

4.30. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится восемь независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет от четырех до шести попаданий в мишень.

4.31. Вероятность изготовления изделия отличного качества равна 0,9. Изготовлено 50 изделий. Чему равны наивероятнейшее число изделий отличного качества и вероятность такого числа изделий отличного качества?

4.32. Вероятность появления события А в каждом из 15 независимых опытов равна 0,3. Определить вероятность появления события А семь или восемь раз.

4.33. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна 1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.

4.34. При установившемся технологическом процессе 80% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Какое количество изделий должно быть в партии, чтобы  наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии составляло 250 изделий.

4.35. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?

4.36. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет шесть попаданий в мишень.

4.37. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,5. Произведено 10 бросков. Найти вероятность того, что будет не менее 8 попаданий.

4.38. Рабочий обслуживает десять однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 0,1. Найти вероятность того, что в течение часа поступит два или три  требования.

4.39. Имеется 10 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна 0,9. Найти вероятность, что хотя бы в одном ящике все детали будут стандартными.

4.40. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что шесть раз она упадет гербом вверх?

Задача 5. Дискретная случайная величина

Условия вариантов задачи

В задачах 5.1-5.40 дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5  с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1). Найти p отмеченные *. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Таблица. 5.1

Вариант x1 x2 x3 x4 x5 p1 p2 p3 p4 p5
5.1 1 2 3 4 5 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
5.2 1 2 3 4 5 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
5.3 1 2 3 4 5 0,4 0,1 0,1 0,3 0,1
5.4 1 2 3 4 5 0,3 0,3 0,1 0,1 0,2
5.5 -2 -1 1 3 7 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
5.6 -2 -1 1 3 7 0,1 0,3 0,2 0,2 0,2
5.7 -5 -2 0 1 2 0,5 0,1 0,1 0,2 0,1
5.8 -5 -2 0 1 2 0,1 0,2 0,1 0,3 0,3
5.9 0 1 2 3 4 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
5.10 0 1 2 3 4 0,3 0,2 0,1 0,2 0,2
5.11 0 1 2 3 4 0,1 0,2 0,3 0,4 0
5.12 -1 0 1 2 3 0,6 0,1 0,1 0,1 0,1
5.13 -1 0 1 2 3 0,3 0,2 0,1 0,1 0,3
5.14 3 4 5 6 7 0,1 0,2 0,3 0,4 0
5.15 3 4 5 6 7 0,5 0,1 0,1 0,1 0,2
5.16 -5 -4 -3 5 6 0,1 0,3 0,2 0,2 0,2
5.17 -2 0 2 4 9 0,3 0,2 0,1 0,1 0,3
5.18 -2 0 2 4 9 0,3 0,1 0,1 0,2 0,3
5.19 -2 0 2 4 9 0,15 0,15 0,2 0,4 0,1
5.20 5 6 7 8 9 0,1 0,1 0,1 0,1 0,6
5.21 1 4 7 8 9 0,3 0,15 0,25 0,15 0,15
5.22 1 4 7 8 9 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
5.23 -10 -4 0 4 10 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
5.24 -10 -4 0 4 10 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3
5.25 2 4 6 8 10 0,1 0,2 0,3 0,35 0,05
5.26 2 4 6 8 10 0,7 0,1 0,1 0,05 0,05
5.27 2 4 6 8 10 0,2 0,3 0,05 0,25 0,2
5.28 1 4 5 7 8 0,6 0,1 0,1 0,05 0,15
5.29 1 4 5 7 8 0,3 0,3 0,1 0,15 0,15
5.30 5 6 7 9 12 0,05 0,15 0,2 0,4 0,2
5.31 0 2 4 8 10 0,1 0,3 0,4 0,1 *
5.32 -2 -1 0 1 2 0,5 0,1 * 0,1 0,2
5.33 -4 -3 -1 0 1 0,2 * 0,2 0,1 0,4
5.34 -6 -3 -1 0 2 * 0,1 0,1 0,1 0,1
5.35 2 3 4 8 10 0,3 * 0,3 0,1 0,1
5.36 0 2 3 6 5 0,2 0,2 * 0,2 0,2
5.37 1 3 5 6 8 0,2 0,3 0,1 * 0,2
5.38 -1 0 1 3 6 0,1 0,5 0,1 * 0,1
5.39 -4 -2 0 2 5 0,4 0,1 * 0,1 0,1
5.40 -1 0 1 2 3 * 0,3 0,1 0,3 0,1

Задача 6. Непрерывная случайная величина

Условия вариантов задачи

В задачах 6.1-6.40 (параметры заданий приведены в табл. 6.1) случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.

Таблица 6.1

Вариант x,c) a b a b
6.1 -3 3 -0,5 1,5
6.2 0 1 0,5 1
6.3 -1 1 0 0,5
6.4 -1 3 -1 2
6.5 0 1 -2 2
6.6 -2 2 -1 1
6.7 0 p/2 p/4 p/2
6.8 0 p/2 p/4 p
6.9 0 p/3 -1 1
6.10 -p/2 p/2 0 1
6.11 -p/4 p/4 0,5 1
6.12 c e-x 0 1 2
6.13 c e-2x 0 1 3
6.14 5 e-cx 0 0 1
6.15 c -2 2 1,5 2
6.16 c ex 0 1 0 0,5
6.17 c x5 0 1 0,5 0,7
6.18 c x6 -1 1 0 2
6.19 c x7 0 1 0 0,25
6.20 c x8 -1 1 0 2
6.21 c x9 0 1 0 0,25
6.22 c x10 -1 1 -0,5 0,5
6.23 1 4 2 3
6.24 1 4 1 2,5
6.25 1 2 1 1,5
6.26 1 3 1 2
6.27 1 5 1 2
6.28 1 2 1 1,5
6.29 1 3 1 2
6.30 1 4 1 3
6.31 1 2 0,5 1,5
6.32 0 2 1 2
6.33 0 p 0 p/2
6.34 -p/6 p/6 0 1
6.35 c x5 0 2 0 1
6.36 c x6 -2 2 -1 3
6.37 c x7 0 2 0,5 0,7
6.38 c x8 -2 2 -0,5 0,25
6.39 c x9 0 2 1 1,5
6.40 c x10 -2 2 -1 1,5

Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента

Условия вариантов задачи

В задачах 7.1-7.40 (условия приведены в табл. 7.1) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).

Таблица 7.1

Вариант a b
7.1 -1 4
7.2 0 10
7.3 -3 2
7.4 -6 4
7.5 -4 1
7.6 -1 2
7.7 -1 2
7.8 x4 -2 1
7.9 -2 2
7.10 -2 1
7.11 -4 6
7.12 -3 7
7.13 1 5
7.14 -4 6
7.15 0 0,75p
7.16 0 p/2
7.17 p/6 p/3
7.18 -p/4 p/2
7.19 ex 0 1
7.20 -1 2
7.21 1 2
7.22 x1/3 -1 8
7.23 1/3 -8 1
7.24 -p/2 p/3
7.25 -p/6 p/2
7.26 0 1,5p
7.27 0 4
7.28 -1 4
7.29 1 2
7.30 1/4 -1 16
7.31 -3 2
7.32 -1 2
7.33 -2 2
7.34 -3 7
7.35 0 0,75p
7.36 -p/4 p/2
7.37 1 2
7.38 -p/2 p/3
7.39 0 4
7.40 1/4 -1 16

Задача 8. Двухмерные случайные величины

 

Условия вариантов задачи

 

В задачах 8.1-8.40 (конкретные параметры приведены в табл. 8.1) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

 

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

 

Рис. 8.1

Таблица 1.4

Вариант

x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2
8.1 0 0 1 1 1 1 1 2
8.2 0 2 2 2 2 2 1 2
8.3 0 0 0 2 2 4 1 2
8.4 0 2 4 4 4 4 1 2
8.5 0 0 2 3 3 4 1 2
8.6 0 0 6 6 6 6 1 2
8.7 2 0 4 5 5 6 1 2
8.8 0 0 2 2 4 4 1 2
8.9 0 0 4 2 2 0 1 2
8.10 0 0 4 4 2 2 1 2
8.11 0 2 2 3 3 4 1 2
8.12 0 1 4 5.5 5.5 6 1 2
8.13 0 2 2 4 4 6 1 2
8.14 0 4 4 5 5 6 1 2
8.15 4 0 8 10 10 12 1 2
8.16 0 0 4 5 5 6 1 2
8.17 0 0 4 4 4 4 1 2
8.18 0 3 3 3 3 3 1 2
8.19 0 0 0 2 2 4 1 2
8.20 0 2 6 6 6 6 1 2
8.21 3 0 5 6,5 6,5 8 1 2
8.22 0 0 4 4 4 6 1 2
8.23 0 0 4 2 2 0 1 2
8.24 0 0 5 5 5 5 1 2
8.25 0 4 4 6 6 8 1 2
8.26 0 4 6 7 7 8 1 2
8.27 1 0 3 2,5 2,5 4 1 2
8.28 0 2 4 4 6 6 1 2
8.29 0 2 4 4 5 6 1 2
8.30 0 1 3 5 5 7 1 2
8.31 0 0 0 1 1 2 1 2
8.32 0 2 6 5 5 4 1 2
8.33 0 0 2 1 1 0 1 2
8.34 0 2 4 5 5 6 1 2
8.35 0 2 4 2 2 0 1 2
8.36 0 4 4 4 4 4 1 2
8.37 0 0 2 4 4 6 1 2
8.38 0 0 6 6 4 4 1 2
8.39 0 2 4 6 6 8 1 2
8.40 0 2 4 5 6 7 1 2

Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин

 

Условия вариантов задачи

 

В задачах 9.1-9.40 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :

.

Конкретные значения коэффициентов  и числовые характеристики случайных величин  приведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Вариант a0 a1 a2 b0 b1 b2 m1 m2 m3 D1 D2 D3 K12 K23 K13
9.1 -9 -1 9 2 -3 5 1 -2 2 1 4 9 0 3 -1,5
9.2 -8 4 8 3 -4 4 1 0 2 1 4 16 0 4 2
9.3 -7 1 7 4 -5 3 1 2 2 1 4 25 0 5 2,5
9.4 -6 2 6 5 -6 2 1 4 2 1 9 4 0 3 -1
9.5 -5 3 5 6 -7 1 -2 6 -1 1 9 1 0 1,5 -1
9.6 -4 4 4 7 -8 3 -2 8 -1 1 9 9 -1,5 4,5 0
9.7 -3 5 3 8 -9 -1 -5 7 -2 1 16 16 2 8 0
9.8 -2 6 2 9 -8 -2 -5 6 -2 4 16 25 -4 10 0
9.9 -1 7 1 -9 -7 -3 0 5 1 4 16 4 4 4 0
9.10 0 8 6 -8 -6 -4 0 4 1 4 25 1 -5 2,5 0
9.11 1 7 -1 -7 -5 -5 0 3 1 4 25 9 5 0 3
9.12 2 6 -2 -6 -4 -6 -1 2 0 4 25 16 5 0 4
9.13 3 5 -3 -5 -3 -7 -1 1 0 4 1 25 1 0 5
9.14 4 4 -4 -4 -2 -8 3 0 4 4 1 4 1 0 2
9.15 5 3 -5 -3 -1 -9 3 -1 4 4 1 1 1 0 1
9.16 6 2 -6 -2 9 -8 -5 -2 -4 4 4 9 0 3 -3
9.17 7 1 -7 -1 1 -7 -2 -3 0 4 4 16 0 4 4
9.18 8 8 -8 0 2 -6 -2 -4 0 9 4 25 0 5 -7,5
9.19 9 -1 -9 1 3 -5 -2 -5 0 9 9 4 0 3 3
9.20 -9 -2 -8 2 4 -4 5 -6 6 9 9 1 0 1,5 -1,5
9.21 -8 -3 -7 3 5 -3 1 -7 4 9 9 16 4,5 6 0
9.22 -7 -4 -6 4 6 -2 1 -8 4 9 16 16 6 8 0
9.23 -6 -5 -5 5 7 -1 9 -9 -4 9 16 16 6 8 0
9.24 -5 -6 -4 6 8 7 -9 -8 -4 9 16 25 6 10 0
9.25 -4 -7 -3 7 9 1 2 -7 4 9 25 25 7,5 12,5 0
9.26 -3 -8 -2 8 8 2 2 -6 4 9 25 25 7,5 0 7,5
9.27 -2 -9 -1 9 7 3 2 -5 4 9 25 25 -7,5 0 7,5
9.28 -1 -1 3 4 6 4 1 -4 4 9 1 25 1,5 0 7,5
9.29 0 -9 1 5 9 5 1 -3 4 9 1 25 -1,5 0 7,5
9.30 1 -8 2 6 8 6 5 -2 6 9 1 25 1,5 0 7,5
9.31 2 -7 3 7 7 7 3 -1 7 16 4 1 0 -1 2
9.32 3 -6 4 8 6 8 3 0 6 16 4 1 0 1 2
9.33 4 -5 5 9 5 9 3 1 5 16 4 1 0 -1 2
9.34 5 -4 6 -9 4 8 3 2 4 16 9 1 0 1,5 2
9.35 6 -3 7 -8 3 7 1 3 3 16 9 1 0 -1,5 2
9.36 7 -2 8 -7 2 6 1 4 2 16 9 1 6 0 2
9.37 8 -1 9 -6 1 -2 0 5 1 16 16 1 8 0 -2
9.38 9 7 8 -5 5 1 0 6 0 16 16 9 8 0 6
9.39 0 1 7 -4 -1 2 2 7 -1 16 16 4 8 0 -4
9.40 1 2 6 -3 -2 3 2 8 -2 16 25 9 10 0 6

Контрольная работа №2. Математическая статистика

Задача 10. Обработка одномерной выборки

Условие задачи

По выборке одномерной случайной величины:

— получить вариационный ряд;

— построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);

— построить гистограмму равноинтервальным способом;

— построить гистограмму равновероятностным способом;

— вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

— вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

— выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия c2  и критерия Колмогорова (a = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.

 

Необходимая для выполнения задачи выборка, объемом 49 значений одномерной величины, содержится в индивидуальном задании студента.

Задача 11. Обработка двухмерной выборки

Условие задачи

По выборке двухмерной случайной величины:

— вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

— вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);

— проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;

— вычислить оценки параметров a0 и a1 линии регрессии;

— построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

 

Необходимая для выполнения задачи выборка, объемом 25 пар значений двумерной величины, содержится в индивидуальном задании студента.

50 ГЕНИАЛЬНЫХ СПОСОБОВ СПИСАТЬ НА ЭКЗАМЕНЕ / ШКОЛЬНЫЕ ЛАЙФХАКИ + КОНКУРС50 ГЕНИАЛЬНЫХ СПОСОБОВ СПИСАТЬ НА ЭКЗАМЕНЕ / ШКОЛЬНЫЕ ЛАЙФХАКИ + КОНКУРС

Отзывы

Отзывов пока нет.

Будьте первым кто оставил отзыв;

Ваш адрес email не будет опубликован.


Заказать