Содержание
Лабораторная работа № 1. Решение алгебраических и дифференциальных уравнений средствами MathCAD
- Цель работы. Изучить способы применения solve-блока системы MathCAD для решения как алгебраических уравнений, так и обыкновенных дифференциальных уравнений, а также оптимизационных задач.
-
Краткие теоретические сведения
- Решение алгебраических уравнений
Для решения различных математических задач (решение систем алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, оптимизационных задач) в MathCAD используется так называемый solve-блок, в котором формулируется решаемая задача.
Начнем рассмотрение использования solve-блоков с простого примера:
решим квадратное уравнение приведен на рис. 2.1.
x2 2 0 . Соответствующий документ MathCAD
Рис. 2.1. Решение уравнения в среде MathCAD
Solve-блок начинается с ключевого слова Given. В следующей строке записано рассматриваемое уравнение. Следует обратить внимание, что в записи уравнения используется не операция вычисления (=), а логическое равенство (выделяется жирным шрифтом). Для ввода логического равенства используется комбинация клавиш Ctrl-= или соответствующая кнопка (значок) панели
«Boolean Toolbar».
Для решения уравнения использована функция Find, которая применяется для решения уравнений и их систем. Аргументами Find являются переменные задачи: Find(x,y,z).
На рис. 2.1 уравнение решено символьно, т.е. решение уравнения точное.
Очень небольшое число уравнений имеет символьное решение.
Дополним задачу условием корень уравнения.
x 0 , т.е. найдем только положительный
Соответствующий документ приведен на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Решение уравнения с дополнительным условием
Как видно из рис. 2.2 solve-блок был дополнен одним условием.
Для задания неравенств в solve-блоке могут быть использованы операции
> (больше), < (меньше), (больше или равно), (меньше или равно). Первые две операции вводятся нажатием соответствующих кнопок на клавиатуре. Для ввода последних двух операций можно использовать комбинации клавиш Ctrl-9 и Ctrl-0 соответственно или кнопки панели «Boolean Toolbar».
Как уже было сказано далеко не каждая задача может быть решена
символьно. К такому уравнению относится, например, уравнение Решение указанного уравнения приведено на рис. 2.3.
а) б)
x5 x2 2 0 .
Рис. 2.3. Решения уравнения
x5 x2 2 0
а) символьное, б) численное
На рис. 2.3 в символьном решении вызов функции Find выделен красным цветом, так как пакет MathCAD не смог найти символьное решение задачи.
В численном решении перед solve-блоком добавилась строка x:=0. Она необходима, т.к. численным методам решения задач требуется задание некоторого начальное приближения к решению. В ряде задач полученный ответ сильно зависит от выбора начального приближения, например, задавая разные начальные приближения можно найти разные корни алгебраического уравнения.
Решение систем уравнений выполняется аналогично одиночному уравнению. В solve-блок записываются все уравнения системы. Решение системы уравнений
x2 x2 2 0,
1 2
x1 x2 1 0;
показано на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Пример решения системы уравнений
-
- Решение оптимизационных задач
Для решения оптимизационных задач в MathCAD предусмотрено 2 функции: Minimize и Maximize для решения задач на минимум и максимум соответственно.
Формат вызова функций: Minimize(f, x1, x2), где f – целевая функция, x1, x2 – перечень ее переменных.
Пример решения оптимизационной задачи
x* arg min x2 x2 x2 4x
8x
12x
100
приведен на рис. 2.5.
xR3
1 2 3 1 2 3
В случае пустого solve-блока (а указанная выше задача является задачей безусловной оптимизации, т.е. нет никаких дополнительных ограничений) ключевое слово Given можно не указывать, а сразу вызывать функцию Minimize.
Рис. 2.5. Пример решения оптимизационной задачи
-
- Решение дифференциальных уравнений
При исследовании и проектировании систем автоматического управления (САУ) особое место среди прочих математических задач занимает решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что САУ представляют собой сугубо динамические системы, и исследователя (проектировщика) интересуют в них не статические состояния, а протекающие в них процессы, движения, характеризующиеся изменениями каких-то величин с течением времени. Именно обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) являются наиболее подходящим математическим аппаратом для описания движения САУ. Поэтому всякое исследование САУ всегда явно или неявно связано с решением дифференциальных уравнений.
Рассмотрим решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием решающего Odesolve-блока, который является аналогом ранее использованного solve-блока. Подчеркнем, что внутри данного решающего блока дифференциальное уравнение записывается в традиционной форме, а не в нормальной форме — форме Коши.
В качестве примера рассмотрим решение ОДУ
106 ɺxɺ( t ) 2 104 xɺ( t ) x( t ) sin( t ) ,
которым описывается колебательное звено с параметрами
T 103 ,
0.1, K
1 при синусоидальном входном сигнале.
В решающем Odesolve-блоке это дифференциальное уравнение записывается в классической математической форме с добавлением начальных условий – см. рис. 2.6.
T 0.001
0.1
K 1
Given x( 0) 
2
T x»(t) 2Tx'(t) x(t)
Ksin(t)
x Odesolve (t 4 100)
Рис. 2.6. Пример решения задачи Коши
После такого присвоения переменная x стала именем функции одного действительного аргумента, определённой на отрезке [0; 4], которая является решением содержащейся в решающем блоке задачи Коши. Например, можно вывести значение этой функции в желаемый момент времени:
x(0) 1
x(0.01) 0.696 .
Для того чтобы в решающем блоке ввести символ дифференцирования —
штрих, надо нажать <Ctrl>+F7.
Аргументами Odesolve являются: имя свободной переменной, конечное значение (правая граница) интервала решения и необязательный параметр – количество шагов в решении, который косвенно управляет величиной шага интегрирования.
Заметим, что изображать производную штрихом можно только внутри решающего блока, вне него этот символ не работает. Там надо пользоваться обычным символом дифференцирования с панели «Calculus»:
y(t) d x(t)
dt
y(0) 
Внутри решающего блока, впрочем, тоже можно использовать обычный символ дифференцирования MathCAD, но только не в начальных условиях:
Given x'(0) 
2 d2 d
T 2x(t) 2Tdt x(t) x(t)
dt
Ksin(t)
y Odesolve (t 4 1000)
Решающий блок лишь формирует обращение к конкретным сольверам (решающим процедурам). При этом выбирать тип сольвера можно лишь в контекстном меню (щелчок правой кнопкой мыши на слово Odesolve), причём доступны три варианта: fixed (постоянный шаг), adaptive (с выбором шага) и stiff (для жёстких ОДУ).
Для того чтобы построить графики полученных решений, нет нужды формировать векторы абсцисс и ординат, достаточно поставить имя определённой ранее переменной на ось абсцисс и функцию от этой переменной
— на ось ординат:
1
1
0.5
x(t)
0
y(t)
0.5
1
1
0 0.1 0.2
0 t
Рис. 2.7. Пример решения задачи Коши
0.25
Два графика на последнем рисунке изображают решение одной и той же системы одним и тем же (адаптивным) методом, но с разным количеством шагов. Графики совсем непохожи вначале переходного процесса и практически сливаются после 0.1 секунды. Серьёзные отличия вначале процесса – не ошибка решения, а следствие выбора слишком малого количества точек на процессе (слишком большого шага при выдаче результата): для процесса х вычисляется 100 точек, а остальные при необходимости интерполируются; для процесса y рассчитано 1000 точек. Нетрудно убедиться, что в моменты времени, кратные 0.04 (шаг по времени для х) графики совпадают.
Решающий блок может содержать и систему дифференциальных уравнений не обязательно первого порядка. Должны выполняться только два условия – достаточное количество начальных условий и линейность каждого ОДУ относительно старшей производной. Для того чтобы Odesolve возвратила вектор – функцию, первым её аргументом должен быть вектор с именами переменных, которые должны быть вычислены.
Given
x(0) 
2
T x»(t) 2Tx'(t) x(t)
sin(10t)
y1 Odesolve
z
x
t 2
Теперь y1 – вектор, содержащий в качестве элементов две функции. Для того чтобы как-то воспользоваться этими функциями, надо присвоить их каким-то другим именам:
y10 
z1(0.1) 
Проще, да и правильнее, слева от Odesolve также использовать вектор соответствующей размерности. Пример, приведённый ниже, содержит одно уравнение третьего порядка и одно – первого:
Given x(0) 
2
2x»'(t) T x»(t) 2Tx'(t) x(t)
sin(t)
z'(t) 
x1
x2
Odesolve
z
x
t 10 100
20
10
x1( t)
x2( t)
0
10
0 2 4 6 8 10
t
Рис. 2.8. Пример решения задачи ОДУ
Нередко возникает потребность получить не только решение ОДУ старшего порядка, но и его производную (производные). Казалось бы, достаточно добавить к вектору выходных функций соответствующий символ x’, но MathCAD этого не допускает. Он требует, чтобы размерность выходного вектора строго равнялась количеству дифференциальных уравнений в решающем блоке.
-
Задания и порядок проведения исследований
- Создать текстовый блок, содержащий название работы, номер варианта, ФИО студента, отформатировать текст в соответствии с образцом, приведенном на рис. 2.9.
Лабораторная работа №2
Решение алгебраических и дифференциальных уравнений средствами
MathCAD
Выпонил: студент гр. 111111 Иванов И.И.
Вариант: N
Дата: 16.02.2016 г.
Рис. 2.9. Образец форматирования текста
-
- Решить систему уравнений из таблицы 2.1. с использованием функции Find численно и символьно.
- Решить численно оптимизационную задачу на минимизацию целевой функции в заданной области с использованием функции Minimize. Целевые функции и области для поиска минимумов приведены в таблице 2.2.
- Решить однородное дифференциальное уравнение, соответствующее
передаточной функции
W( s )
k
( T s 1)( T s 1)
01 02
системы управления с
параметрами, указанными в таблице 2.3. ОДУ решить при начальных условиях
- x( 0 ) 1, x( 0 ) 1.5; 2) x( 0 ) 1, x( 0 ) 1.5 . Построить графики
переходных процессов системы.
Таблица 2.1. Системы уравнений
| № | Система уравнений | № | Система уравнений |
| 1 | x2 x2 4 0,
1 2 3x1 4x2 1 0; |
16 | x2 x2 4x 6x 16 0,
1 2 1 2 x 5 x2 0; 2 1 |
| 2 | ex1×2 4x2 16 0,
2 x1 x2 1 0; |
17 | 5x2 4x x x2 16x 12x 17 0,
1 1 2 2 1 2 x2 x2 3 0; 1 2 |
| 3 | x1 x2 2 0,
2 2 5×1 4x1x2 x2 x2 16 0; |
18 | x2 x2 x x x 2x 18 0,
1 2 1 2 1 2 x1 x2 5 0; |
| 4 | x2 12x x 2x2 3 0;
1 1 2 2 4x2 x2 25 0; 1 2 |
19 | x4 x2 4x x 16 0,
1 2 1 2 2×1 7×2 15 0; |
| 5 | x2 x2 6 0,
1 2 x1 x2 1 0; |
20 | x3 2x x x 19 0,
1 2 1 2 2×1 7×2 15 0; |
| 6 | x1 2×2 2 0,
2 2 x1 x2 1 0; |
21 | x3x 2x2x x x 12 0,
1 2 2 1 1 2 3x1 17x2 19 0; |
| 7 | 2x2 6x 6x 17 0,
1 1 2 5×1 x2 1 0; |
22 | 5x3 x 3x x 2 0,
1 2 1 2 x2 x 4 0; 1 2 |
| 8 | x1x2 3 0,
2 2 x1 x2 2 0; |
23 | 7x4 x x 9x2x 17 0,
1 2 1 1 2 3x4 3x 14 0; 1 2 |
| 9 | x3 x3 x x 5 0,
1 2 2 1 x1 x2 1 0; |
24 | x ex1 1 ex1 sin x 9 0;
1 2 x1 x2 3 0; |
| 10 | 19x3 x 3x2 x 17 0,
2 1 1 2 x1 5×2 6 0; |
25 | x2 x2 4x 6x 15 0,
1 2 1 2 x2 x 3 0; 1 2 |
| 11 | 9x3 x3 3x2 x 0,
1 2 1 2 x3 1 0; 1 |
26 | 3x x x2x x x2 17 0,
1 2 1 2 1 2 x x2 3 0; 1 2 |
| 12 | 3x3 13x2 3x2 13 0,
2 1 2 x2 x2 1 0; 1 2 |
27 | 19x3 x 3x2 x 15 0,
2 1 1 2 19x1 11x2 3 0; |
| 13 | 7x3 x2x 9x2x 19 0,
1 2 1 1 2 x1 x2 1 0; |
28 | x3 x3 x x 15 0,
1 2 2 1 x2 x 7 0; 1 2 |
| 14 | x3 13x2 9x x x x 9 0,
1 2 1 2 2 1 2×1 5×2 1 0; |
29 | 50 20
x1x2 x x 3 0, 1 2 x1 x2 56 0; |
| 15 | x2 3x2 7x x x x 0,
1 2 1 2 2 1 x2 x x 2 0; 1 2 1 |
30 | 13x2 11x2x 2x2 17 0,
1 2 1 2 x1 x2 56 0; |
Таблица 2.2. Целевые функции
| № | Целевая функция и область
поиска |
№ | Целевая функция |
| 1 | f x , x x3 13x2 9x x
1 2 1 2 1 2 x1 10;10 x2 3;3 |
16 | f x , x 7x4 x x 9x2x
1 2 1 2 1 1 2 x1 3;5 x2 1;5 |
| 2 | f x , x x2 25x2 x x 5x x
1 2 1 2 1 2 2 1 x1 3;3 x2 10;10 |
17 | f x , x 5x3 x 3x x
1 2 1 2 1 2 x1 2; 2 x2 3;3 |
| 3 | f x , x 17x4 9x x x2 x2 17
1 2 1 1 2 1 2 x1 10;10 x2 3;3 |
18 | f x , x 4x2 x2 12x x 3x
1 2 1 2 1 2 1 x1 10;10 x2 3;3 |
| 4 | f x , x 17x3 19x2x x x 17
1 2 1 1 2 1 2 x1 3;3 x2 10;10 |
19 | f x , x x3x 2x2x x x
1 2 1 2 2 1 1 2 x1 1;10 x2 2;6 |
| 5 | f x , x 13x3 11x x x 21
1 2 1 2 1 1 x1 10;10 x2 3;3 |
20 | f x , x x3 2x x x
1 2 1 2 1 2 x1 1;10 x2 2;6 |
| 6 | f x , x 13x2 x2x 2x2 x 17
1 2 1 2 1 2 1 x1 3;3 x2 10;10 |
21 | f x , x x x2 x2x 3x2 3x2
1 2 1 2 1 2 1 2 x1 10;10 x2 2;5 |
| 7 | f x , x x2 x2 2x 2x 7
1 2 1 2 2 1 x1 10;10 x2 3;3 |
22 | f x , x x ex1 1 ex1 sin x
1 2 1 2 x1 10;10 x2 2;5 |
| 8 | f x , x x3 x2 2x 2x 7
1 2 1 2 2 1 x1 3;3 x2 10;10 |
23 | f x , x x4 x2 4x x
1 2 1 2 1 2 x1 10;10 x2 3;3 |
| 9 | f x , x 2x4 x4 x x
1 2 1 2 2 1 x1 10;10 x2 3;3 |
24 | f x , x 3x x x2x x x2
1 2 1 2 1 2 1 2 x1 10;10 x2 3;3 |
| 10 | f x , x x3 x3 x x
1 2 1 2 2 1 x1 10;10 x2 3;3 |
25 | f x , x x3 x3 3x x
1 2 1 2 1 2 x1 1;5 x2 2;3 |
| 11 | f x , x 19x3 x 3x2 x
1 2 2 1 1 2 x1 2; 2 x2 5;5 |
26 | f x , x x2 x2 x x x
1 2 1 2 1 2 1 x1 2;5 x2 2;3 |
| 12 | f x , x 9x3 x3 3x2 x
1 2 1 2 1 2 x1 2;3 x2 6; 9 |
27 | f x , x x2 x2 x x x 2x
1 2 1 2 1 2 1 2 x1 2;5 x2 2;3 |
| 13 | f x , x 3x3 13x2 3x2
1 2 2 1 2 x1 1;1 x2 2; 2 |
28 | f x , x 5x2 4x x x2 16x 12x
1 2 1 1 2 2 1 2 x1 3;3 x2 2;1 |
| 14 | f x , x 3x5 x2x 11x2x x3
1 2 1 2 1 1 2 1 x1 1;1 x2 2; 2 |
29 | f x , x x2 x2 4x 6x
1 2 1 2 1 2 x1 3;3 x2 10;1 |
| 15 | f x , x 7x5 x2x 9x2x
1 2 1 2 1 1 2 x1 1;5 x2 1;1 |
30 | f x , x x x 50 20
1 2 1 2 x x 1 2 x1 3;10 x2 10;10 |
Таблица 2.3. Параметры передаточных функций
| Вариант | k | T01 | T02 |
| 1 | 1 | 0,5 | 0,1 |
| 2 | 2 | 0,25 | 0,5 |
| 3 | 3 | 0,1 | 0,25 |
| 4 | 1 | 0,25 | 0,2 |
| 5 | 1 | 0,25 | 1 |
| 6 | 2 | 0,05 | 0,25 |
| 7 | 4 | 0,08 | 0,24 |
| 8 | 4 | 0,5 | 0,1 |
| 9 | 2 | 0,5 | 0,25 |
| 10 | 3 | 1 | 0,5 |
| 11 | 3 | 0,5 | 0,05 |
| 12 | 1.5 | 0,25 | 0,2 |
| 13 | 2 | 0,75 | 0,01 |
| 14 | 5 | 0,45 | 0,1 |
| 15 | 3 | 0,9 | 0,05 |
| 16 | 2.5 | 0,36 | 0,67 |
| 17 | 1.5 | 0,34 | 0,52 |
| 18 | 4 | 0,8 | 0,2 |
| 19 | 4.5 | 0,7 | 0,12 |
| 20 | 3.5 | 0,3 | 0,95 |
| 21 | 5 | 0,1 | 0,6 |
| 22 | 4 | 0,8 | 0,3 |
| 23 | 1 | 0,65 | 0,5 |
| 24 | 2 | 0,45 | 0,55 |
| 25 | 4 | 0,72 | 0,35 |
- Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе формируется как листинг из MachCAD выполнения указанных пунктов в порядке исследования с добавлением от руки выводов по работе, формулируемых на основе графиков и числовых данных полученных входе исследований.
-
Контрольные вопросы
- Пояснить ввод уравнений и неравенств в блоке Given; указать различие действия операторов «=» и «=».
- Пояснить выполнение в пакете Mathcad аналитического и численного способов решения алгебраического уравнения, указать их принципиальное различие.
- Указать каким образом выбирается начальное приближение при численном решении алгебраического уравнения.
- Пояснить смысл входных параметров в решающем Odesolve-блоке.
- Указать особенности использования Odesolve-блока при решении систем дифференциальных уравнений в отличие от решения одного уравнения.
Библиографический список
-
-
- Дьяконов В.П. Mathcad 11/12/13 в математике: справочник / В.П. Дьяконов. – М.: Горячая линия-Телеком, 2007. – 958с.
- Макаров Н.Н., Феофилов С.В. Применение пакета Mathcad в анализе и синтезе систем автоматического управления. Уч. пособие. – Тула, Изд-во ТулГУ, 2006. – 170 с.
- Капалин В.И. Шаповалова Н.Е. Линейные системы управления в системе компьютерной математики Mathcad. Уч. пособие. – М. Изд-во Перо, 2013. – 132 с.
-
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. Исследование временных характеристик линейных непрерывных систем автоматического управления
- Цель работы. Изучить способы построения временных характеристик типовых звеньев линейных систем управления в пакете MathCAD.
Краткие теоретические сведения
Временные характеристики, которые описываются переходной и весовой функциями, характеризуют динамический режим работы элемента (звена) объекта или системы управления.
Динамическим называется режим работы элемента системы, при котором входная и выходная величины его изменяются во времени.
Так как динамический режим возникает в результате перехода элемента от одного установившегося состояния к другому, то его часто называют переходным режимом, а процесс перехода от одного установившегося состояния к другому — переходным процессом.
Зависимость выходной величины элемента от изменяющейся во времени входной величины называют его динамической характеристикой.
Частным случаем динамических характеристик являются так называемые временные характеристики — зависимости выходной величины элемента системы автоматики от времени, если входная величина изменяется по некоторому типовому (стандартному) закону, например, импульсом или линейно и т.п.
Переходная характеристика
Из временных характеристик наиболее часто в ТАУ используется переходная характеристика объекта, которая определяет реакцию объекта на действие простейшего стандартного сигнала – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0 . Математически этот сигнал определяется выражением
0, при t 0; 1( t )
1, при t 0.
Графически такая функция времени показана ниже.
X 1
yм
t п п
t
y0 2
t
Рис. 1. Переходная функция системы
Соответственно, реакция объекта на единичный скачок называется переходной функцией и обозначается h(t). При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, то есть, имеет нулевые начальные условия. Это значит, что все его переменные состояния равны нулю и внутренняя энергия также нулевая.
Если начальные условия ненулевые, то для построения сигнала выхода при любом входе нужно использовать дифференциальные уравнения объекта или его модель в пространстве состояний. Это значит, что переходная характеристика дает меньше информации, чем исходные дифференциальные уравнения объекта.
По характеру зависимости переходные характеристики делятся на монотонные, апериодические и колебательные. Переходные характеристики считаются апериодическими, если они имеют не более одного экстремума.
y y
y0
t t
0 0
а) б)
y y
t t
0 0
в)
Рис. 2. Виды переходных функций системы: а) – монотонная, б) – апериодическая, в) – колебательная
В противном случае (более одного максимума) переходную характеристику относят к колебательной.
С использованием переходной функции вводятся так называемые первичные показатели качества систем управления.
- Время переходного процесса
Время, в течение которого выходная величина после начала изменения входной достигает нового установившегося значения, называют временем переходного процесса. Однако теоретически это время стремиться к бесконечности. Поэтому за время переходного процесса принимают время tпп после начала изменения входной величины, за которое выходная величина достигает нового установившегося значения с заданной степенью точности . Степень точности задается заранее и обычно не превышает 3-5% от нового установившегося значения – см. рис. 1.
- Статическая ошибка
Статическая ошибка представляет собой разность между значением выходной
величины yi в момент времени
ti tnn
(после окончания переходного процесса) и её
новым установившемся значением
y0 yзад , т.е
y( ti ) y0 , ti tnn .
Очевидно, что статическая ошибка является некоторой константой, которая характеризует точность работы САУ.
- Динамическая ошибка, перерегулирование
Динамическая ошибка — это разность между действительным значением выходной величины yi в данный момент времени ti и её новым установившемся значением y0 , т.е
yi yi y0 .
Очевидно, что динамическая ошибка представляет собой функцию времени.
Максимальную положительную относительную ошибку за время переходного процесса называют перерегулированием :
yм y0 100% ,
y0
здесь (см. рис. 1) yм — максимальное значение, y0 — новое установившееся значение выходной величины.
- Колебательность.
Колебательность µ — количество полных колебаний за время переходного процесса. Колебательность может характеризоваться частотой или периодом колебаний выходной величины.
В соответствии с определением переходная функция h(t) находится решением дифференциального уравнения системы управления при нулевых начальных условиях и входном сигнале x(t)=1(t).
Например, на рис. 3. показано определение в пакете MathCAD переходной функции
апериодического звена с передаточной функцией соответствующего дифференциального уравнения.
W p K
Tp 1
как решение
Сначала решение определяется аналитически с использованием преобразования
Лапласа по формуле
ht L1 1 . (1)
W p
p
Отметим, что здесь выражение 1/p описывает изображение Лапласа единичной
ступенчатой функции
L 1t 1
p . Подробное описание применения компьютерной
математики MathCAD в области изображения Лапласа смотри в лабораторной работе №3.
Далее приводится нахождение переходной функции непосредственно численным решением дифференциального уравнения.
Определение переходной функции моделированием
Given
x(0) 0
x Odesolve (t 10 1000)
Td
dt
x(t)
- x(t)
K(t)
Весовая (импульсная) функция
Переходя к рассмотрению другой не менее распространенной временной
характеристикой системы управления – весовой (импульсной) функции, предварительно отметим, что с использованием ранее рассмотренной переходной функции h(t) решение линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами ai , bi
d n y t
an n
… a1
dy t
- a0 y t bm
dmx t
m
… b1
dx t
b0 x t . (2)
dt dt dt dt
и с начальными условиями
y 0,
y1 0, …,
n
yn1 0
t
записывается так
y t y t y t C epit
ht xɺ d , (3)
где
yОБ t ,
yЧ t
ОБ Ч i
i1 0
— общая (свободная) и частная (вынужденная) составляющие
решения, Сi – так называемые постоянные интегрирования, выражаемые через начальные условия, pi – корни характеристического уравнения, составленного для диффуравнения (1).
Формула (3) выводится с использованием принципа суперпозиции, в соответствии с которым выходной сигнал линейной системы можно получить наложением друг на друга реакций системы на отдельные ступенчатые воздействия
1(ti ) xɺ ti t, t ti ti1 const , аппроксимирующие входной сигнал.
Выражение (3) определяет связь между производной входного сигнала
xɺ t и
выходной переменной y(t) системы. Так в практике управления входные сигналы систем могут быть и недифференцируемыми функциями, то в ТАУ решение уравнения (2), как правило, представляют в форме
y t y
t y
t C epit
t
wt x d , (4)
где
ОБ Ч i
i1 0
n
wt dh(t) dt
(5)
– весовая (импульсная) функция звена (системы), а интеграл в выражении (4) называется интегралом свертки (в теоретической электротехнике – интегралом Дюамеля).
Уравнение (4) определяет связь между уже входной x(t) и выходной y(t) функциями системы и позволяет решить основную задачу анализа САУ – рассчитать переходной процесс системы при действии конкретного входного сигнала.
Так как переходная функция h(t) является реакцией объекта (1) на единичную
ступенчатую функцию 1(t), то из уравнений (3) и (4) следует, что функция
wt в
свою очередь представляет реакцию объекта на сигнал, который формально является производной ступенчатой функции
t d1(t) dt
(5)
(производные в формулах (3) и (4) меняются местами). Данный сигнал в ТАУ
называется единичным идеальным импульсом t
или функцией Дирака.
Из выражения (5) вытекает, что функцию Дирака технически точно нельзя реализовать (значение производной стремится к бесконечно большой величине). Поэтому для приближенного получения импульсной характеристики используют
импульсы прямоугольной формы
X
| | ||
h
t
Такой импульс аналитически описывается так
0, 0 t ,
X (t)
h, 0 t ,
при этом «площадь» сигнала
X (t)dt h ,
где h — высота или амплитуда импульса, — продолжительность импульса.
Произведение h часто называют величиной импульса. Если величина импульса равна единице, то импульс называют единичным. Если 0 , то импульс называет идеальным.
Таким образом, единичный идеальный импульс аналитически можно описать выражением
при этом
0,
(t)
,
при при
t 0,
t 0,
(6)
(t)dt 1. (7)
Соответственно единичный идеальный импульс
-
- Фильтрующее (детекторное) свойство
( t ) имеет следующие свойства.
x(t) (t)dt x(0) . (8)
-
- Преобразование Лапласа с учетом (8) принимает значение
L( t ) ( t )e ptdt e0 1. (9)
0
С использованием свойства (9) и понятияпередаточнойфункции находим
W (s) L[ y(t)]
L[u(t)]
L[w(t)] L[w(t)] .
L[ t ] 1
Отсюда следует важный факт: передаточная функция равна изображению Лапласа от весовой функции
и ли
W (s) L[w(t)], (10)
w(t) L1[W (s)].
Соотношения (10) широко используются в ТАУ и, в частности, в данной лабораторной
работе – см. рис. 4.
Задания и порядок проведения исследований
Задание. Используя (модифицируя) программный модуль лабораторной работы в MathCAD (см. рис. 4) для заданного объекта, передаточная функция и параметры которого определяются согласно таблице 1 в зависимости от номера варианта, рассчитать временные характеристики следующих элементов:
-
-
- апериодического звена;
- звена второго порядка с интегратором;
- звена второго порядка с двумя апериодическими звеньями;
- колебательного звена.
-
Порядок исследований и представления результатов
- Создать текстовый блок, содержащий название работы, ФИО студента, номер варианта, отформатировать текст в соответствии с образцом, приведенном на рис. 3.
Лабораторная работа № 6. Исследование временных характеристик линейных непрерывных систем автоматического управления
Выпонил: студент гр. 111111 Иванов И.И.
Вариант: N
Дата: 01.03.2016 г.
Рис. 3. Образец форматирования текста
Определение характеристик апериодического звена
-
- Используя (модифицируя) программу Mathcad, определить передаточную функцию звена и задать значения ее параметров согласно таблице 1 в зависимости от номера варианта:
W( s )
k
T s 1
01
, k
, T .
-
- Используя средства среды Mathcad по реализации обратного преобразования Лапласа, определите переходную и весовую функции звена.
- Постройте графики этих функций.
- Численное определение переходной характеристики звена
- С помощью блока Given задайте дифференциальное уравнение, соответствующее передаточной функции, с нулевыми начальными значениями и входной функцией Ф(t) – единичной ступенчатой функцией.
- Решите это дифференциальное уравнение с использованием оператора
Odesolve(t, a, b) и постройте график решения.
-
- Численное определение весовой характеристики звена
- С помощью блока Given задайте дифференциальное уравнение, соответствующее передаточной функции, с нулевыми начальными значениями и входной функцией Impuls1(t, ti) – импульс единичной величины с длительностью ti
- Численное определение весовой характеристики звена
(эта функция отсутствует в Mathcad и определяется самостоятельно через Ф(t)).
-
-
- Решите это дифференциальное уравнение с использованием оператора Odesolve(t, a, b) и постройте графики решения для трех значений ti, последовательно уменьшающихся в два раза.
-
Определение характеристик звена второго порядка с интегратором
Пункты 1.1 – 1.5 повторите для звена с передаточной функцией
W( s )
k
s( T s 1)
01
с параметрами, указанными в таблице 1 в соответствии с
номером варианта.
Определение характеристик звена второго порядка с двумя апериодическими звеньями
Пункты 1.1 – 1.5 повторите для звена с передаточной функцией
W( s )
k
( T s 1)( T s 1)
01 02
с параметрами, указанными в таблице 1.
Определение характеристик колебательного звена второго порядка
Пункты 1.1 – 1.5 повторите для звена с передаточной функцией
k W(s) T 2 s 2Ts 1
с параметрами, указанными в таблице 1. Заметим, что
взаимосвязь параметров
T ,
и постоянными времени
T01 , T02
таблицы в
методических указаниях для проведения численного эксперимента принята согласно
T02 T01
формулам: T 0,316
T01T02 ;
0,158 .
- Выводы по работе (о соответствии результатов п.1.2 и п.1.4, п.1.5)
Ниже приводится пример программного модуля выполнения работы.
- Описание звена T 1
K
K 2
1
1
W2(p)
W(p)
Tp 1
W1(p)
(p 1)2
p 2 1.4142p 1
- Аналитическое определение переходной и весовой характеристик звена Нахождение переходной функции
W2(p)
h(t)
p
invlaplace 1.0e21 (5.0e20 4.9999041009196633608e2)0ei ( 0.7071 0.70711356230806378163i)t (4.999904
p
Нахождение весовой функции
w(t) W(p)
invlaplace
p
2e t
Построение графиков переходной и весовой функций
h(t)
w(t)
(t)
21
110
20
510
0 7
0 2 4 6
t
- Определение переходной и весовой характеристик звена моделированием
- Определение переходной функции
Given
Td
dt
x(t)
x(0) 0
K(t)
x Odesolve (t 10 1000)
h(t)
x(t)
(t)
2
1.5
1
0.5
0
0 2 4 6
t
-
- Нахождение весовой функции
Определение единичного импульса c длительностью ti:
Impuls1(t ti)
1
ti
Расчет весовой функции
dt
x(t)
- x(t)
2
x(t)
w(t)
Impuls1(t 0.25)
1.5
1
0.5
00 2 4 6
t
Рис. 4. Определение временных характеристик звеньев в MathCAD
Таблица 1
| Вариант | k | T01 | T02 |
| 1 | 1 | 0,5 | 0,01 |
| 2 | 2 | 0,25 | 0,5 |
| 3 | 3 | 0,1 | 0,25 |
| 4 | 1 | 0,25 | 0,2 |
| 5 | 1 | 0,25 | 1 |
| 6 | 2 | 0,05 | 0,25 |
| 7 | 4 | 0,05 | 0,25 |
| 8 | 4 | 0,5 | 0,1 |
| 9 | 2 | 0,5 | 0,25 |
| 10 | 3 | 1 | 0,5 |
| 11 | 3 | 0,5 | 0,05 |
| 12 | 1.5 | 0,25 | 0,2 |
| 13 | 2 | 0,75 | 0,01 |
| 14 | 5 | 0,45 | 0,1 |
| 15 | 3 | 0,9 | 0,05 |
| 16 | 2.5 | 0,36 | 0,67 |
| 17 | 1.5 | 0,34 | 0,52 |
| 18 | 4 | 0,8 | 0,2 |
| 19 | 4.5 | 0,7 | 0,12 |
| 20 | 3.5 | 0,3 | 0,95 |
| 21 | 5 | 0,1 | 0,6 |
| 22 | 4 | 0,8 | 0,3 |
| 23 | 1 | 0,65 | 0,5 |
| 24 | 2 | 0,45 | 0,55 |
| 25 | 4 | 0,72 | 0,35 |
Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе формируется как листинг из MathCAD выполнения указанных пунктов в порядке исследования с добавлением от руки выводов по работе, формулируемых на основе графиков и числовых данных полученных входе исследований.
Контрольные вопросы
-
-
- Математически опишите и поясните типовые входные воздействия систем управления, а именно, 1) единичная ступенчатая функция, 2) единичный импульс, 3) идеальный единичный импульс.
- Как называются реакции системы на типовые воздействия ?
- Дать определения переходной, весовой (импульсной) и передаточной функциям объекта, указать их взаимосвязь.
- Пояснить на примере объекта первого порядка способы расчета переходной и весовой (импульсной) функций по заданной передаточной функции объекта (классический и операторный способы расчета переходных процессов).
- Изобразите графики переходных функций типовых звеньев. Как параметры звеньев влияют на вид графика ?
- Поясните физический смысл первичных показателей качества системы управления и процедуру графического определения их значений.
-
Библиографический список
-
-
-
- Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования.- М.: Наука, 1975.- 7S7 с.
- Поляков К.Ю. Теория автоматического управления для чайников. – С.- Петербург, 2008. – 80 с. (http://kpolyakov.narod.ru).
- Капалин В.И. Шаповалова Н.Е. Линейные системы управления в системе компьютерной математики Mathcad. Уч. пособие. – М. Изд-во Перо, 2013. – 132 с.
- Макаров Н.Н., Феофилов С.В. Применение пакета Mathcad в анализе и синтезе систем автоматического управления. Уч. пособие. – Тула, Изд-во ТулГУ, 2006. – 170 с.
-
-
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3. Исследование систем управления в пространстве состояний
- Цель работы. Изучение методики составления уравнений объекта в пространстве состояний, способов нахождения фазовых траекторий объекта и решения дифференциальных уравнений Коши в среде Mathcad.
Краткие теоретические сведения
-
- Модель в пространстве состояний
Объект управления (ОУ) по определению представляет совокупность технических устройств, нуждающихся в специальном организационном воздействии (управлении) для получения целевого результата – (рис. 1).
Рис. 1. Объект управления
Величины, оказывающие влияние на поведение объекта называются воздействиями. Выделяют следующие векторы воздействий:
u1
U (t) …
u
- вектор управляющий воздействий (управлений);
m
f1
F (t) …
— вектор возмущающих воздействий, описывающих
f
k
влияние окружающей среды на данный объект;
y1
Y (t) … — вектор выходных сигналов – сигналов датчиков,
y
n
установленных на ОУ.
При описании ОУ в пространстве состояний вводится дополнительный вектор состояний или вектор фазовых координат объекта
x1(t)
X (t) … .
x (t)
n
По определению вектор X (t) называется вектором состояния объекта, если он
обладает следующими двумя свойствами:
- для данного ОУ вектор состояния должен иметь минимальную размерность;
- размерность должна быть достаточной для того, чтобы, зная
начальное состояние
X (t0 )
и входные воздействия на объект, рассчитать
состояние объекта в следующий момент времени X (t0 t) .
В теории автоматического управления для объектов, движение которых описывается дифференциальным уравнением n-ого порядка, часто используется канонический вектор состояния
y(t)
x1 yɺ(t)
X (t) … … , (11)
x
n y(n1) (t)
образованный из производных выходного сигнала объекта. Возможность использования этого вектора в качестве вектора состояния объекта вытекает из теории дифференциальных уравнений, из которой известно, что решение
y(t)
дифференциального уравнения n-ого порядка можно однозначно
определить, задав n начальных условий: функцию
y(t0 )
в начальный момент
времени и ее производные
y(i) (t ),
i 1, 2,…, n 1, т.е. задав вектор состояния в
начальный момент времени
0
X (t0 ) . При этих условиях можно рассчитать
решение
y(t)
и найти значение вектора (11) в любой момент времени –
следовательно, согласно определению вектор (11) является вектором состояния для рассматриваемого объекта.
При выборе вектора состояния для исследуемого ОУ используется два подхода:
- физический подход – компоненты вектора состояния выбираются таким образом, чтобы они имели ясный физический смысл;
- математический подход – вектор состояния выбирается таким образом, чтобы задача управления математически решалась наиболее простым способом.
Для решения задач анализа и синтеза строится математическая модель объекта управления, представляющая собой ряд математических соотношений между компонентами указанных векторов, позволяющих при заданных входных воздействиях рассчитать значения выходных сигналов объекта.
В пространстве состояний модель ОУ представляет собой систему дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши:
xɺi (t) i [x1 (t),…, xn (t), u1 (t),…, um (t), f1 (t),…, fk (t)],
i 1, 2,…, n;
, (12а)
y j (t) nj [x1 (t),…, xn (t)], j 1, 2,…, r,
или в векторной форме
Xɺ (t) [ X (t),U (t), F (t)],
Y (t) N[ X (t)].
(12б)
Первое уравнение (12б), являющееся дифференциальным, называется уравнением состояния объекта, а второе алгебраическое – уравнением наблюдения (измерений) объекта.
Часто используется линейные модели объектов, в которых функции
(),
N ()
являются линейными функциями своих аргументов:
Xɺ (t) AX (t) BU (t),
Y (t) CX (t),
(13)
где А, В, С – матрицы параметров объекта соответствующих размерностей.
Пример. Рассмотрим ОУ, заданный следующей передаточной функцией
W ( p)
K
(T1 p 1)(T2 p 1)
(14)
Составим описание данного объекта в пространстве состояний с каноническим вектором состояний. С этой целью предварительно запишем соответствующее дифференциальное уравнение объекта по его передаточной функции:
или
W ( p)
K
(T1 p 1)(T2 p 1)
Y ( p)
U ( p)
(T1 p 1)(T2 p 1)Y ( p) KU ( p),
(TT p2 (T T ) p 1)Y ( p) KU ( p).
1 2 1 2
Так как передаточная функция определяется как отношение преобразований Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях, то
p d , y(t) Y ( p), yɺ(t) pY ( p), ɺyɺ(t) p2Y ( p) . С использованием данных
dt
соотношений переходим от операторного уравнения к дифференциальному
T1T2 ɺyɺ(t) (T1 T2 ) yɺ(t) y(t) KU (t) . (15)
С использованием канонического вектора состояний
x1 (t) y(t)
X (t) x (t) yɺ(t)
(16)
2
дифференциальному уравнению (15) второго порядка и можно поставить в соответствие систему двух дифференциальных уравнений:
xɺ1 (t) x2 (t)
1 1 1 K
(17)
xɺ (t) x (t) ( )x (t)
U (t)
2
TT 2
T T 2 TT
1 2 1 2 1 2
Уравнения (17) представляют описание объекта (14) в фазовом пространстве с вектором состояний (16).
Модель объекта (17) можно записать в матричном виде
xɺ 0 1
x 0
1
1 1 1
1 K U (t) , (18)
xɺ2
TT
(
T T
) x2
TT
1 2 1 2 1 2
y1 x1
y (1 0) x
2 2
с матрицами параметров
0 1 0
A 1 1 1 ,
B K ,
C 1 0 . (19)
TT
(
T T
) TT
1 2 1 2 1 2
Решение дифференциальных уравнений Коши в Mathcad
Запись моделей в единой форме (12) (форме Коши) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах. Например, в пакете Mathcad для решения систем дифференциальных уравнений (12) разработаны следующие функции (процедуры): rkadapt, Rkadapt, rkfixed, Bustoer.
Эти функции имеют аналогичное обращение к ним, которое поясним на примере функции Rkadapt(X0, t0, tk, N, F).
Rkadapt(X0, t0, tk, N, F) — ищет решение дифференциального уравнения или системы с использованием метода Рунге — Кутты с переменным шагом (там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается). Возвращается решение с равным шагом, определяемым числом точек N.
Аргументы вышеуказанной функции имеют следующий смысл: Х0 — вектор начальных условий;
t0, tk — границы интервала для поиска решения; N — количество точек на интервале;
F(t,X) — вектор-функция первых производных – правых частей уравнений Коши.
В результате работы указанных функций рассчитывается матрица, количество столбцов которой на единицу больше числа уравнений системы, а количество строк равно параметру N. Первый столбец содержит значения независимой переменной t, второй – значения первой фазовой координаты, третий — значения второй фазовой координаты системы и т.д. – см. пример.
Способы расчета фазовых траекторий объекта
Существует 4 способа построения фазовых траекторий. Рассмотрим их содержание на примере объекта с передаточной функцией интегратора
второго порядка
W ( p)
K , который в каноническом фазовом пространстве
p2
описывается системой дифференциальных уравнений:
xɺ1 (t) x2 (t)
xɺ (t) KU (t)
(20)
2
Для простоты расчетов построение фазовых траекторий проведем при единичном ступенчатом управляющем воздействии U (t) 1(t) .
Способ 1. Основан на решении системы дифференциальных уравнений
- или дифференциального уравнения второго порядка
ɺxɺ1(t) KU (t),
x1 (0) x10 ,
xɺ1 (0) x2 (0) x20
и единичном ступенчатом входном воздействии U (t) 1(t) :
xɺ2 (t)dt K 1(t)dt x2 (t) Kt C1 .
Определим фазовую координату
x1(t) из первого уравнения системы (20)
x (t) x (t)dt 1 Kt 2 C t C .
1 2 2 1 2
Найдем постоянные интегрирования C , C из начальных условий
В результате получаем
1 2
x 2 (0) x20 C1 , x1(0) x10 C2 .
x (t) 1 Kt 2 x t x ,
1 20 10
2
(21)
x (t) Kt x .
2 20
Уравнения (21) параметрической форме описывают фазовую траекторию системы – зависимость одной фазовой координаты объекта от другой, т.е.
функцию
x1
f (x2 ) (или
x2
f (x1) ).
Способ 2. Состоит в исключении времени t из системы уравнений (21).
Подставляя значение t 1 (x x
) из второго уравнения системы уравнений
K
- в первое, получаем
2 20
1
x1
2K
2 1 2
2 10 2K 20
явное уравнение фазовой траектории системы – параболическую зависимость фазовых координат между собой.
x x
x
Способ 3. Исключение времени непосредственно из системы дифференциальных уравнений (20). Для этого перепишем эту систему уравнений в развернутом виде:
dx1 x ,
dt 2
dx2 K.
dt
Разделим первое уравнение данной системы на второе:
dx1 1 x
2
dx2 K
- найдем дифференциальное уравнение фазовой траектории объекта.
Решив уравнение (23) при соответствующих начальных условиях, получим уравнение фазовой траектории объекта
dx1 dx
1 x dx x
1 x2 C
dx 2
- ту же самую параболу (22).
2
K 2 2 1
2K 2
Способ 4 представляет развитие и уточнение способа 3. Часто уравнение фазовой траектории (23) получается сложным, которое аналитически не решается. В том случае решение дифференциальное уравнение фазовой
траектории находится численно с последующим построением графика
зависимости
x1
f (x2 ) .
Задания и порядок проведения исследований
Задание. Используя (модифицируя) программный модуль лабораторной работы в Mathcad (см. рис. 3) требуется провести описанные ниже исследования для заданного объекта, передаточная функция и параметры которого определяются согласно таблице 1 в зависимости от
номера варианта, причем для четных вариантов
W( s )
k
s( T s 1)
01
, а для
нечетных – W( s )
k .
( T s 1)( T s 1)
01 02
Таблица 1. Параметры передаточных функций
| Вариант | k | T01 | T02 |
| 1 | 1 | 0,5 | 0,1 |
| 2 | 2 | 0,25 | 0,5 |
| 3 | 3 | 0,1 | 0,25 |
| 4 | 1 | 0,25 | 0,2 |
| 5 | 1 | 0,25 | 1 |
| 6 | 2 | 0,05 | 0,25 |
| 7 | 4 | 0,08 | 0,24 |
| 8 | 4 | 0,5 | 0,1 |
| 9 | 2 | 0,5 | 0,25 |
| 10 | 3 | 1 | 0,5 |
| 11 | 3 | 0,5 | 0,05 |
| 12 | 1.5 | 0,25 | 0,2 |
| 13 | 2 | 0,75 | 0,01 |
| 14 | 5 | 0,45 | 0,1 |
| 15 | 3 | 0,9 | 0,05 |
| 16 | 2.5 | 0,36 | 0,67 |
| 17 | 1.5 | 0,34 | 0,52 |
| 18 | 4 | 0,8 | 0,2 |
| 19 | 4.5 | 0,7 | 0,12 |
| 20 | 3.5 | 0,3 | 0,95 |
| 21 | 5 | 0,1 | 0,6 |
| 22 | 4 | 0,8 | 0,3 |
| 23 | 1 | 0,65 | 0,5 |
| 24 | 2 | 0,45 | 0,55 |
| 25 | 4 | 0,72 | 0,35 |
Порядок исследований и представления их результатов
- Создать текстовый блок, содержащий название работы, ФИО студента, номер варианта, отформатировать текст в соответствии с образцом, приведенном на рис. 2.
Лабораторная работа №4.Исследование систем управления в пространстве состояний
Выпонил: студент гр. 111111 Иванов И.И.
Вариант: N
Дата: 01.03.2016 г.
Рис. 2. Образец форматирования текста
- Указать передаточную функцию объекта и ее параметры
W(p) =
- Сформировать матрицы А и В описания объекта в каноническом пространстве состояний.
- Сформировать вектор-функцию F(t, X) правой части описания системы управления в форме Коши при u(t)=1(t).
- Задать начальные условия объекта x1(0) = 0 и x2(0) = 0, решить систему дифференциальных уравнений, описывающих САУ и построить графики ее переходных процессов – графики изменения ее фазовых координат (заметим, они при указанных условиях совпадают с графиками переходной и весовой функций системы).
- Используя матрицу Z решения системы дифференциальных уравнений построить фазовую траекторию САУ.
- Аналитическое (аналитически-численное) определение фазовых траекторий системы.
Дать вывод уравнения фазовой траектории объекта и рассчитать ее любым другим методом, указанным в теоретической части работы.
- Выводы по работе (о соответствии результатов п.5 и п.6) Пример программного модуля выполнения лабораторной работы.
Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 3.
И с с л е д о в а н и е С А У в п р о с т р а н с т в е с о с т о я н и й
В ы п о н и л : с т у д е н т г р . 111111 И в а н о в И .И .
В а р и а н т : N
Д а т а : 01.03.2016 г .
- О п и с а н и е о б ъ е к т а
T1 1
T2 2
W(p)
K 2
K
(T1p 1)(T2p 1)
- Ф о р м и р о в а н и е м а т р и ц А и В о п и с а н и я о б ъ е к т а в п р о с т р а н с т в е с о с т о я н и й
ORIGIN 1
0 1
0
A 1 1 1 B K
T1T2 T1
T2
T1T2
0 1
0
A B
0.5 1.5
1
- Ф о р м и р о в а н и е в е к т о р-ф у н к ц и и F(t, X) п р а в о й ч а с т и о п и с а н и я С А У
F(t X) AX B(t)
- Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я с и с т е м ы
0
t0 0
tk 10
n 10000
j 1 n
X0
0
Р е ш е н и е с и с т е м ы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й и п о с т р о е н и е г р а ф и к о в п п
Z1 Rkadapt(X0 t0 tk n F)
Z1
| 1 | 2 | 3 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1·10-3 | 4.998·10-7 | 9.993·10-4 |
| 3 | 2·10-3 | 1.998·10-6 | 1.997·10-3 |
| 4 | 3·10-3 | 4.493·10-6 | 2.993·10-3 |
| 5 | 4·10-3 | 7.984·10-6 | 3.988·10-3 |
| 6 | 5·10-3 | 1.247·10-5 | 4.981·10-3 |
| 7 | 6·10-3 | 1.795·10-5 | 5.973·10-3 |
| 8 | 7·10-3 | 2.441·10-5 | 6.963·10-3 |
| 9 | 8·10-3 | 3.187·10-5 | 7.952·10-3 |
| 10 | 9·10-3 | 4.032·10-5 | 8.939·10-3 |
| 11 | 0.01 | 4.975·10-5 | 9.925·10-3 |
| 12 | 0.011 | 6.017·10-5 | 0.011 |
| 13 | 0.012 | 7.157·10-5 | 0.012 |
| 14 | 0.013 | 8.395·10-5 | 0.013 |
| 15 | 0.014 | 9.732·10-5 | 0.014 |
| 16 | 0.015 | 1.117·10-4 | … |
2
1.5
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10
Z1j 1
6 П о с т р о е н и е ф а з о в о й т р а е к т о р и и С А У
0.5
0.4
0.3
Z1j 3
0.2
0.1
0
0 0.5 1 1.5 2
Z1j 2
- Аналитическое (аналитически-числен ое) определение фазовых траекторий
Рис. 3. Программный модуль для выполнения лабораторной работы
Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе формируется как листинг из Mathсad выполнения указанных пунктов в порядке исследования с добавлением от руки выводов по работе, формулируемых на основе графиков и числовых данных полученных входе исследований.
Контрольные вопросы
- Дать определения векторам управления, наблюдения и состояния объекта; привести их примеры.
- Сформулировать основные подходы к выбору вектора состояния для конкретного объекта.
- Пояснить способ определения матриц А, В, С описания линейного объекта в пространстве состояний по его заданной передаточной функции.
- Пояснить основные четыре способа определения фазовых траекторий объекта управления.
- Пояснить смысл параметров в процедуре Rkadapt(X0, t0, tk, n, F) и элементов ее выходной матрицы Z.
Библиографический список
-
- Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования.- М.: Наука, 1975.- 7S7 с.
- Поляков К.Ю. Теория автоматического управления для чайников. –
С.-Петербург, 2008. – 80 с. ().
-
- Макаров Н.Н., Феофилов С.В. Применение пакета Mathcad в анализе и синтезе систем автоматического управления. Уч. пособие. – Тула, Изд-во ТулГУ, 2006. – 170 с.
- Капалин В.И. Шаповалова Н.Е. Линейные системы управления в системе компьютерной математики Mathcad. Уч. пособие. – М. Изд-во Перо, 2013. – 132 с.
Отзывы
Отзывов пока нет.