Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

Варианты: 10
  • ID работы: 18034
  • Добавлена: 2023
  • Посл. изменения: 26-12-2023
  • Тип:  .
  • Предмет: Информатика, Электроснабжение
  • Формат: zip

Цена: 2,500.00

Выберите нужный вариант - отобразится его стоимость - нажмите В корзину:

Лабораторная работа № 1. Решение алгебраических и дифференциальных уравнений средствами MathCAD

  1. Цель работы. Изучить способы применения solve-блока системы MathCAD для решения как алгебраических уравнений, так и обыкновенных дифференциальных уравнений, а также оптимизационных задач.
  2. Краткие теоретические сведения
    1. Решение алгебраических уравнений

Для решения различных математических задач (решение систем алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, оптимизационных задач) в MathCAD используется так называемый solve-блок, в котором формулируется решаемая задача.

Начнем рассмотрение использования solve-блоков с простого примера:

решим квадратное уравнение приведен на рис. 2.1.

x2  2  0 . Соответствующий документ MathCAD

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

Рис. 2.1. Решение уравнения в среде MathCAD

Solve-блок начинается с ключевого слова Given. В следующей строке записано рассматриваемое уравнение. Следует обратить внимание, что в записи уравнения используется не операция вычисления (=), а логическое равенство (выделяется жирным шрифтом). Для ввода логического равенства используется комбинация клавиш Ctrl-= или соответствующая кнопка (значок) панели

«Boolean Toolbar».

Для решения уравнения использована функция Find, которая применяется для решения уравнений и их систем. Аргументами Find являются переменные задачи: Find(x,y,z).

На рис. 2.1 уравнение решено символьно, т.е. решение уравнения точное.

Очень небольшое число уравнений имеет символьное решение.

Дополним задачу условием корень уравнения.

x  0 , т.е. найдем только положительный

Соответствующий документ приведен на рис. 2.2.

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

Рис. 2.2. Решение уравнения с дополнительным условием

Как видно из рис. 2.2 solve-блок был дополнен одним условием.

Для задания неравенств в solve-блоке могут быть использованы операции

> (больше), < (меньше),  (больше или равно),  (меньше или равно). Первые две операции вводятся нажатием соответствующих кнопок на клавиатуре. Для ввода последних двух операций можно использовать комбинации клавиш Ctrl-9 и Ctrl-0 соответственно или кнопки панели «Boolean Toolbar».

Как уже было сказано далеко не каждая задача может быть решена

символьно. К такому уравнению относится, например, уравнение Решение указанного уравнения приведено на рис. 2.3.

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

а) б)

x5x2  2  0 .

Рис. 2.3. Решения уравнения

x5x2  2  0

а) символьное, б) численное

На рис. 2.3 в символьном решении вызов функции Find выделен красным цветом, так как пакет MathCAD не смог найти символьное решение задачи.

В численном решении перед solve-блоком добавилась строка x:=0. Она необходима, т.к. численным методам решения задач требуется задание некоторого начальное приближения к решению. В ряде задач полученный ответ сильно зависит от выбора начального приближения, например, задавая разные начальные приближения можно найти разные корни алгебраического уравнения.

Решение систем уравнений выполняется аналогично одиночному уравнению. В solve-блок записываются все уравнения системы. Решение системы уравнений

x2x2  2  0,

 1 2

x1  x2  1  0;

показано на рис. 2.4.

Лабораторные работы по дисциплине &#171;Основы оптимального управления электроприводами&#187;

Рис. 2.4. Пример решения системы уравнений

    1. Решение оптимизационных задач

Для решения оптимизационных задач в MathCAD предусмотрено 2 функции: Minimize и Maximize для решения задач на минимум и максимум соответственно.

Формат вызова функций: Minimize(f, x1, x2), где f – целевая функция, x1, x2 – перечень ее переменных.

Пример решения оптимизационной задачи

x*  arg min x2x2x2  4x

 8x

 12x

 100

приведен на рис. 2.5.

xR3

1 2 3 1 2 3

В случае пустого solve-блока (а указанная выше задача является задачей безусловной оптимизации, т.е. нет никаких дополнительных ограничений) ключевое слово Given можно не указывать, а сразу вызывать функцию Minimize.

Лабораторные работы по дисциплине &#171;Основы оптимального управления электроприводами&#187;

Рис. 2.5. Пример решения оптимизационной задачи

    1. Решение дифференциальных уравнений

При исследовании и проектировании систем автоматического управления (САУ) особое место среди прочих математических задач занимает решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что САУ представляют собой сугубо динамические системы, и исследователя (проектировщика) интересуют в них не статические состояния, а протекающие в них процессы, движения, характеризующиеся изменениями каких-то величин с течением времени. Именно обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) являются наиболее подходящим математическим аппаратом для описания движения САУ. Поэтому всякое исследование САУ всегда явно или неявно связано с решением дифференциальных уравнений.

Рассмотрим решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием решающего Odesolve-блока, который является аналогом ранее использованного solve-блока. Подчеркнем, что внутри данного решающего блока дифференциальное уравнение записывается в традиционной форме, а не в нормальной форме — форме Коши.

В качестве примера рассмотрим решение ОДУ

106 ɺxɺ( t )  2 104 xɺ( t ) x( t ) sin( t ) ,

которым описывается колебательное звено с параметрами

T  103 ,

  0.1, K

 1 при синусоидальном входном сигнале.

В решающем Odesolve-блоке это дифференциальное уравнение записывается в классической математической форме с добавлением начальных условий – см. рис. 2.6.

T  0.001

  0.1

K  1

Given x( 0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 1 x'( 0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 0

2

T x»(t)  2Tx'(t)  x(t)

Ksin(t)

x  Odesolve (t  4 100)

Рис. 2.6. Пример решения задачи Коши

После такого присвоения переменная x стала именем функции одного действительного аргумента, определённой на отрезке [0; 4], которая является решением содержащейся в решающем блоке задачи Коши. Например, можно вывести значение этой функции в желаемый момент времени:

x(0)  1

x(0.01)  0.696 .

Для того чтобы в решающем блоке ввести символ дифференцирования —

штрих, надо нажать <Ctrl>+F7.

Аргументами Odesolve являются: имя свободной переменной, конечное значение (правая граница) интервала решения и необязательный параметр – количество шагов в решении, который косвенно управляет величиной шага интегрирования.

Заметим, что изображать производную штрихом можно только внутри решающего блока, вне него этот символ не работает. Там надо пользоваться обычным символом дифференцирования с панели «Calculus»:

y(t)  d x(t)

dt

y(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 0

Внутри решающего блока, впрочем, тоже можно использовать обычный символ дифференцирования MathCAD, но только не в начальных условиях:

Given x'(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 0 x(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 1

2 d2 d 

T  2x(t)  2Tdt x(t)   x(t)

dt

Ksin(t)

y  Odesolve (t  4 1000)

Решающий блок лишь формирует обращение к конкретным сольверам (решающим процедурам). При этом выбирать тип сольвера можно лишь в контекстном меню (щелчок правой кнопкой мыши на слово Odesolve), причём доступны три варианта: fixed (постоянный шаг), adaptive (с выбором шага) и stiff (для жёстких ОДУ).

Для того чтобы построить графики полученных решений, нет нужды формировать векторы абсцисс и ординат, достаточно поставить имя определённой ранее переменной на ось абсцисс и функцию от этой переменной

— на ось ординат:

1

1

0.5

x(t)

0

y(t)

 0.5

 1

 1

0 0.1 0.2

0 t

Рис. 2.7. Пример решения задачи Коши

0.25

Два графика на последнем рисунке изображают решение одной и той же системы одним и тем же (адаптивным) методом, но с разным количеством шагов. Графики совсем непохожи вначале переходного процесса и практически сливаются после 0.1 секунды. Серьёзные отличия вначале процесса – не ошибка решения, а следствие выбора слишком малого количества точек на процессе (слишком большого шага при выдаче результата): для процесса х вычисляется 100 точек, а остальные при необходимости интерполируются; для процесса y рассчитано 1000 точек. Нетрудно убедиться, что в моменты времени, кратные 0.04 (шаг по времени для х) графики совпадают.

Решающий блок может содержать и систему дифференциальных уравнений не обязательно первого порядка. Должны выполняться только два условия – достаточное количество начальных условий и линейность каждого ОДУ относительно старшей производной. Для того чтобы Odesolve возвратила вектор – функцию, первым её аргументом должен быть вектор с именами переменных, которые должны быть вычислены.

Given

x(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 1 x'(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 0 z(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 1 z'(t) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» x(t)

2

T x»(t)  2Tx'(t)  x(t)

sin(10t)

y1  Odesolve

 z

 x

 t  2

Теперь y1 – вектор, содержащий в качестве элементов две функции. Для того чтобы как-то воспользоваться этими функциями, надо присвоить их каким-то другим именам:

y10 Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» function z1  y10 z2  y11

z1(0.1) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 1.04 z2(0.1) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 0.84

Проще, да и правильнее, слева от Odesolve также использовать вектор соответствующей размерности. Пример, приведённый ниже, содержит одно уравнение третьего порядка и одно – первого:

Given x(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 1 x'(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 0 x»(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 0 z(0) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» 1

2

2x»'(t)  T x»(t)  2Tx'(t)  x(t)

sin(t)

z'(t) Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» x(t)

x1

x2

 Odesolve

 z

 x

 t  10 100

Лабораторные работы по дисциплине &#171;Основы оптимального управления электроприводами&#187; 20

10

x1( t)

x2( t)

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

0

 10

0 2 4 6 8 10

t

Рис. 2.8. Пример решения задачи ОДУ

Нередко возникает потребность получить не только решение ОДУ старшего порядка, но и его производную (производные). Казалось бы, достаточно добавить к вектору выходных функций соответствующий символ x’, но MathCAD этого не допускает. Он требует, чтобы размерность выходного вектора строго равнялась количеству дифференциальных уравнений в решающем блоке.

  1. Задания и порядок проведения исследований
    1. Создать текстовый блок, содержащий название работы, номер варианта, ФИО студента, отформатировать текст в соответствии с образцом, приведенном на рис. 2.9.

Лабораторная работа №2

Решение алгебраических и дифференциальных уравнений средствами

MathCAD

Выпонил: студент гр. 111111 Иванов И.И.

Вариант: N

Дата: 16.02.2016 г.

Рис. 2.9. Образец форматирования текста

    1. Решить систему уравнений из таблицы 2.1. с использованием функции Find численно и символьно.
    2. Решить численно оптимизационную задачу на минимизацию целевой функции в заданной области с использованием функции Minimize. Целевые функции и области для поиска минимумов приведены в таблице 2.2.
    3. Решить однородное дифференциальное уравнение, соответствующее

передаточной функции

W( s )

k

( T s  1)( T s  1)

01 02

системы управления с

параметрами, указанными в таблице 2.3. ОДУ решить при начальных условиях

  1. x( 0 )  1, x( 0 )  1.5; 2) x( 0 )  1, x( 0 )  1.5 . Построить графики

переходных процессов системы.

Таблица 2.1. Системы уравнений

Система уравнений Система уравнений
1 x2x2  4  0,

 1 2

3x1  4x2  1  0;

16 x2  x2  4x  6x  16  0,

 1 2 1 2

x  5  x2  0;

2 1

2 ex1×2  4x2  16  0,

 2

x1  x2  1  0;

17 5x2  4x x  x2  16x  12x  17  0,

 1 1 2 2 1 2

x2  x2  3  0;

1 2

3 x1  x2  2  0,

 2 2

5×1  4x1x2  x2  x2  16  0;

18 x2  x2  x x  x  2x  18  0,

 1 2 1 2 1 2

x1  x2  5  0;

4 x2  12x x  2x2  3  0;

 1 1 2 2

4x2  x2  25  0;

1 2

19 x4  x2  4x x  16  0,

 1 2 1 2

2×1  7×2  15  0;

5 x2  x2  6  0,

 1 2

x1  x2  1  0;

20 x3  2x  x x  19  0,

 1 2 1 2

2×1  7×2  15  0;

6 x1  2×2  2  0,

 2 2

x1  x2  1  0;

21 x3x  2x2x  x x  12  0,

 1 2 2 1 1 2

3x1  17x2  19  0;

7 2x2  6x  6x  17  0,

 1 1 2

5×1  x2  1  0;

22 5x3  x  3x x  2  0,

 1 2 1 2

x2  x  4  0;

1 2

8 x1x2  3  0,

 2 2

x1  x2  2  0;

23 7x4  x x  9x2x  17  0,

 1 2 1 1 2

3x4  3x  14  0;

1 2

9 x3  x3  x  x  5  0,

 1 2 2 1

x1  x2  1  0;

24 x ex1  1  ex1 sin x  9  0;

 1 2

x1  x2  3  0;

10 19x3  x  3x2  x  17  0,

 2 1 1 2

x1  5×2  6  0;

25 x2  x2  4x  6x  15  0,

 1 2 1 2

x2  x  3  0;

1 2

11 9x3  x3  3x2  x  0,

 1 2 1 2

x3  1  0;

1

26 3x x  x2x  x x2  17  0,

 1 2 1 2 1 2

x  x2  3  0;

1 2

12 3x3  13x2  3x2  13  0,

 2 1 2

x2  x2  1  0;

1 2

27 19x3  x  3x2  x  15  0,

 2 1 1 2

19x1  11x2  3  0;

13 7x3  x2x  9x2x  19  0,

 1 2 1 1 2

x1  x2  1  0;

28 x3  x3  x  x  15  0,

 1 2 2 1

x2  x  7  0;

1 2

14 x3  13x2  9x x  x  x  9  0,

 1 2 1 2 2 1

2×1  5×2  1  0;

29  50 20

x1x2  x  x  3  0,

 1 2

x1  x2  56  0;

15 x2  3x2  7x x  x  x  0,

 1 2 1 2 2 1

x2  x  x  2  0;

1 2 1

30 13x2  11x2x  2x2  17  0,

 1 2 1 2

x1  x2  56  0;

Таблица 2.2. Целевые функции

Целевая функция и область

поиска

Целевая функция
1 f x , x   x3  13x2  9x  x

1 2 1 2 1 2

x1 10;10 x2 3;3

16 f x , x   7x4  x x  9x2x

1 2 1 2 1 1 2

x1 3;5 x2 1;5

2 f x , x   x2  25x2  x x  5x  x

1 2 1 2 1 2 2 1

x1 3;3 x2 10;10

17 f x , x   5x3  x  3x x

1 2 1 2 1 2

x1 2; 2 x2 3;3

3 f x , x   17x4  9x x  x2  x2  17

1 2 1 1 2 1 2

x1 10;10 x2 3;3

18 f x , x   4x2  x2  12x x  3x

1 2 1 2 1 2 1

x1 10;10 x2 3;3

4 f x , x   17x3  19x2x  x  x  17

1 2 1 1 2 1 2

x1 3;3 x2 10;10

19 f x , x   x3x  2x2x  x x

1 2 1 2 2 1 1 2

x1 1;10 x2 2;6

5 f x , x   13x3  11x x  x  21

1 2 1 2 1 1

x1 10;10 x2 3;3

20 f x , x   x3  2x  x x

1 2 1 2 1 2

x1 1;10 x2 2;6

6 f x , x   13x2  x2x  2x2  x  17

1 2 1 2 1 2 1

x1 3;3 x2 10;10

21 f x , x   x x2  x2x  3x2  3x2

1 2 1 2 1 2 1 2

x1 10;10 x2 2;5

7 f x , x   x2  x2  2x  2x  7

1 2 1 2 2 1

x1 10;10 x2 3;3

22 f x , x   x ex1  1  ex1 sin x

1 2 1 2

x1 10;10 x2 2;5

8 f x , x   x3  x2  2x  2x  7

1 2 1 2 2 1

x1 3;3 x2 10;10

23 f x , x   x4  x2  4x x

1 2 1 2 1 2

x1 10;10 x2 3;3

9 f x , x   2x4  x4  x  x

1 2 1 2 2 1

x1 10;10 x2 3;3

24 f x , x   3x x  x2x  x x2

1 2 1 2 1 2 1 2

x1 10;10 x2 3;3

10 f x , x   x3  x3  x  x

1 2 1 2 2 1

x1 10;10 x2 3;3

25 f x , x   x3  x3  3x x

1 2 1 2 1 2

x1 1;5 x2 2;3

11 f x , x   19x3  x  3x2  x

1 2 2 1 1 2

x1 2; 2 x2 5;5

26 f x , x   x2  x2  x x  x

1 2 1 2 1 2 1

x1 2;5 x2 2;3

12 f x , x   9x3  x3  3x2  x

1 2 1 2 1 2

x1 2;3 x2 6; 9

27 f x , x   x2  x2  x x  x  2x

1 2 1 2 1 2 1 2

x1 2;5 x2 2;3

13 f x , x   3x3  13x2  3x2

1 2 2 1 2

x1 1;1 x2 2; 2

28 f x , x   5x2  4x x  x2 16x 12x

1 2 1 1 2 2 1 2

x1 3;3 x2 2;1

14 f x , x   3x5  x2x  11x2x  x3

1 2 1 2 1 1 2 1

x1 1;1 x2 2; 2

29 f x , x   x2  x2  4x  6x

1 2 1 2 1 2

x1 3;3 x2 10;1

15 f x , x   7x5  x2x  9x2x

1 2 1 2 1 1 2

x1 1;5 x2 1;1

30 f x , x   x x  50  20

1 2 1 2 x x

1 2

x1 3;10 x2 10;10

Таблица 2.3. Параметры передаточных функций

Вариант k T01 T02
1 1 0,5 0,1
2 2 0,25 0,5
3 3 0,1 0,25
4 1 0,25 0,2
5 1 0,25 1
6 2 0,05 0,25
7 4 0,08 0,24
8 4 0,5 0,1
9 2 0,5 0,25
10 3 1 0,5
11 3 0,5 0,05
12 1.5 0,25 0,2
13 2 0,75 0,01
14 5 0,45 0,1
15 3 0,9 0,05
16 2.5 0,36 0,67
17 1.5 0,34 0,52
18 4 0,8 0,2
19 4.5 0,7 0,12
20 3.5 0,3 0,95
21 5 0,1 0,6
22 4 0,8 0,3
23 1 0,65 0,5
24 2 0,45 0,55
25 4 0,72 0,35
  1. Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе формируется как листинг из MachCAD выполнения указанных пунктов в порядке исследования с добавлением от руки выводов по работе, формулируемых на основе графиков и числовых данных полученных входе исследований.

  1. Контрольные вопросы
    1. Пояснить ввод уравнений и неравенств в блоке Given; указать различие действия операторов «=» и «=».
    2. Пояснить выполнение в пакете Mathcad аналитического и численного способов решения алгебраического уравнения, указать их принципиальное различие.
    3. Указать каким образом выбирается начальное приближение при численном решении алгебраического уравнения.
    4. Пояснить смысл входных параметров в решающем Odesolve-блоке.
    5. Указать особенности использования Odesolve-блока при решении систем дифференциальных уравнений в отличие от решения одного уравнения.

Библиографический список

      1. Дьяконов В.П. Mathcad 11/12/13 в математике: справочник / В.П. Дьяконов. – М.: Горячая линия-Телеком, 2007. – 958с.
      2. Макаров Н.Н., Феофилов С.В. Применение пакета Mathcad в анализе и синтезе систем автоматического управления. Уч. пособие. – Тула, Изд-во ТулГУ, 2006. – 170 с.
      3. Капалин В.И. Шаповалова Н.Е. Линейные системы управления в системе компьютерной математики Mathcad. Уч. пособие. – М. Изд-во Перо, 2013. – 132 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. Исследование временных характеристик линейных непрерывных систем автоматического управления

  1. Цель работы. Изучить способы построения временных характеристик типовых звеньев линейных систем управления в пакете MathCAD.

Краткие теоретические сведения

Временные характеристики, которые описываются переходной и весовой функциями, характеризуют динамический режим работы элемента (звена) объекта или системы управления.

Динамическим называется режим работы элемента системы, при котором входная и выходная величины его изменяются во времени.

Так как динамический режим возникает в результате перехода элемента от одного установившегося состояния к другому, то его часто называют переходным режимом, а процесс перехода от одного установившегося состояния к другому — переходным процессом.

Зависимость выходной величины элемента от изменяющейся во времени входной величины называют его динамической характеристикой.

Частным случаем динамических характеристик являются так называемые временные характеристики — зависимости выходной величины элемента системы автоматики от времени, если входная величина изменяется по некоторому типовому (стандартному) закону, например, импульсом или линейно и т.п.

Переходная характеристика

Из временных характеристик наиболее часто в ТАУ используется переходная характеристика объекта, которая определяет реакцию объекта на действие простейшего стандартного сигнала – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0 . Математически этот сигнал определяется выражением

0, при t  0; 1( t )  

1, при t  0.

Графически такая функция времени показана ниже.

X 1

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

t п п

t

y0 2

t

Рис. 1. Переходная функция системы

Соответственно, реакция объекта на единичный скачок называется переходной функцией и обозначается h(t). При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, то есть, имеет нулевые начальные условия. Это значит, что все его переменные состояния равны нулю и внутренняя энергия также нулевая.

Если начальные условия ненулевые, то для построения сигнала выхода при любом входе нужно использовать дифференциальные уравнения объекта или его модель в пространстве состояний. Это значит, что переходная характеристика дает меньше информации, чем исходные дифференциальные уравнения объекта.

По характеру зависимости переходные характеристики делятся на монотонные, апериодические и колебательные. Переходные характеристики считаются апериодическими, если они имеют не более одного экстремума.

y y

y0

t t

0 0

а) б)

y y

t t

0 0

в)

Рис. 2. Виды переходных функций системы: а) – монотонная, б) – апериодическая, в) – колебательная

В противном случае (более одного максимума) переходную характеристику относят к колебательной.

С использованием переходной функции вводятся так называемые первичные показатели качества систем управления.

  1. Время переходного процесса

Время, в течение которого выходная величина после начала изменения входной достигает нового установившегося значения, называют временем переходного процесса. Однако теоретически это время стремиться к бесконечности. Поэтому за время переходного процесса принимают время tпп после начала изменения входной величины, за которое выходная величина достигает нового установившегося значения с заданной степенью точности . Степень точности задается заранее и обычно не превышает 3-5% от нового установившегося значения – см. рис. 1.

  1. Статическая ошибка

Статическая ошибка представляет собой разность между значением выходной

величины yi в момент времени

ti tnn

(после окончания переходного процесса) и её

новым установившемся значением

y0  yзад , т.е

  y( ti ) y0 , ti tnn .

Очевидно, что статическая ошибка является некоторой константой, которая характеризует точность работы САУ.

  1. Динамическая ошибка, перерегулирование

Динамическая ошибка — это разность между действительным значением выходной величины yi в данный момент времени ti и её новым установившемся значением y0 , т.е

yi yi y0 .

Очевидно, что динамическая ошибка представляет собой функцию времени.

Максимальную положительную относительную ошибку за время переходного процесса называют перерегулированием :

  y0  100% ,

y0

здесь (см. рис. 1) — максимальное значение, y0 — новое установившееся значение выходной величины.

  1. Колебательность.

Колебательность µ — количество полных колебаний за время переходного процесса. Колебательность может характеризоваться частотой или периодом колебаний выходной величины.

В соответствии с определением переходная функция h(t) находится решением дифференциального уравнения системы управления при нулевых начальных условиях и входном сигнале x(t)=1(t).

Например, на рис. 3. показано определение в пакете MathCAD переходной функции

апериодического звена с передаточной функцией соответствующего дифференциального уравнения.

W p  K

Tp  1

как решение

Сначала решение определяется аналитически с использованием преобразования

Лапласа по формуле

ht   L1    1  . (1)

W p

p

 

Отметим, что здесь выражение 1/p описывает изображение Лапласа единичной

ступенчатой функции

L 1t   1

p . Подробное описание применения компьютерной

математики MathCAD в области изображения Лапласа смотри в лабораторной работе №3.

Далее приводится нахождение переходной функции непосредственно численным решением дифференциального уравнения.

Определение переходной функции моделированием

Given

x(0) 0

x  Odesolve (t  10 1000)

Td

dt

x(t)

  • x(t)

K(t)

Весовая (импульсная) функция

Переходя к рассмотрению другой не менее распространенной временной

характеристикой системы управления – весовой (импульсной) функции, предварительно отметим, что с использованием ранее рассмотренной переходной функции h(t) решение линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами ai , bi

d n y t

an n

 …  a1

dy t

  • a0 y t   bm

dmx t

m

 …  b1

dx t

b0 x t  . (2)

dt dt dt dt

и с начальными условиями

y 0,

y1 0, …,

n

yn1 0

t

записывается так

y t   y t   y t   C epit

ht   xɺ  d , (3)

где

yОБ t ,

yЧ t

ОБ Ч i

i1 0

— общая (свободная) и частная (вынужденная) составляющие

решения, Сi – так называемые постоянные интегрирования, выражаемые через начальные условия, piкорни характеристического уравнения, составленного для диффуравнения (1).

Формула (3) выводится с использованием принципа суперпозиции, в соответствии с которым выходной сигнал линейной системы можно получить наложением друг на друга реакций системы на отдельные ступенчатые воздействия

1(ti )  xɺ ti t, t ti ti1const , аппроксимирующие входной сигнал.

Выражение (3) определяет связь между производной входного сигнала

xɺ t  и

выходной переменной y(t) системы. Так в практике управления входные сигналы систем могут быть и недифференцируемыми функциями, то в ТАУ решение уравнения (2), как правило, представляют в форме

y t   y

t   y

t   C epit

t

wt   x  d , (4)

где

ОБ Ч i

i1 0

n

wt   dh(t) dt

(5)

– весовая (импульсная) функция звена (системы), а интеграл в выражении (4) называется интегралом свертки (в теоретической электротехнике – интегралом Дюамеля).

Уравнение (4) определяет связь между уже входной x(t) и выходной y(t) функциями системы и позволяет решить основную задачу анализа САУ – рассчитать переходной процесс системы при действии конкретного входного сигнала.

Так как переходная функция h(t) является реакцией объекта (1) на единичную

ступенчатую функцию 1(t), то из уравнений (3) и (4) следует, что функция

wt  в

свою очередь представляет реакцию объекта на сигнал, который формально является производной ступенчатой функции

 t   d1(t) dt

(5)

(производные в формулах (3) и (4) меняются местами). Данный сигнал в ТАУ

называется единичным идеальным импульсом  t

или функцией Дирака.

Из выражения (5) вытекает, что функцию Дирака технически точно нельзя реализовать (значение производной стремится к бесконечно большой величине). Поэтому для приближенного получения импульсной характеристики используют

импульсы прямоугольной формы

X

 

h

 

t

Такой импульс аналитически описывается так

0, 0  t  ,

X (t)  

h, 0  t  ,

при этом «площадь» сигнала



X (t)dt h ,



где h — высота или амплитуда импульса,  — продолжительность импульса.

Произведение h часто называют величиной импульса. Если величина импульса равна единице, то импульс называют единичным. Если   0 , то импульс называет идеальным.

Таким образом, единичный идеальный импульс аналитически можно описать выражением

при этом

0,

 (t)  

,



при при

t  0,

t  0,

(6)

 (t)dt  1. (7)



Соответственно единичный идеальный импульс

    1. Фильтрующее (детекторное) свойство



( t ) имеет следующие свойства.

x(t) (t)dt x(0) . (8)



    1. Преобразование Лапласа с учетом (8) принимает значение



L( t )   ( t )e ptdt e0  1. (9)

0

С использованием свойства (9) и понятияпередаточнойфункции находим

W (s)  L[ y(t)] 

L[u(t)]

L[w(t)]  L[w(t)] .

L[ t ] 1

Отсюда следует важный факт: передаточная функция равна изображению Лапласа от весовой функции

и ли

W (s)  L[w(t)], (10)

w(t)  L1[W (s)].

Соотношения (10) широко используются в ТАУ и, в частности, в данной лабораторной

работе – см. рис. 4.

Задания и порядок проведения исследований

Задание. Используя (модифицируя) программный модуль лабораторной работы в MathCAD (см. рис. 4) для заданного объекта, передаточная функция и параметры которого определяются согласно таблице 1 в зависимости от номера варианта, рассчитать временные характеристики следующих элементов:

      1. апериодического звена;
      2. звена второго порядка с интегратором;
      3. звена второго порядка с двумя апериодическими звеньями;
      4. колебательного звена.

Порядок исследований и представления результатов

  1. Создать текстовый блок, содержащий название работы, ФИО студента, номер варианта, отформатировать текст в соответствии с образцом, приведенном на рис. 3.

Лабораторная работа № 6. Исследование временных характеристик линейных непрерывных систем автоматического управления

Выпонил: студент гр. 111111 Иванов И.И.

Вариант: N

Дата: 01.03.2016 г.

Рис. 3. Образец форматирования текста

Определение характеристик апериодического звена

    1. Используя (модифицируя) программу Mathcad, определить передаточную функцию звена и задать значения ее параметров согласно таблице 1 в зависимости от номера варианта:

W( s )

k

T s  1

01

, k

, T .

    1. Используя средства среды Mathcad по реализации обратного преобразования Лапласа, определите переходную и весовую функции звена.
    2. Постройте графики этих функций.
    3. Численное определение переходной характеристики звена
      1. С помощью блока Given задайте дифференциальное уравнение, соответствующее передаточной функции, с нулевыми начальными значениями и входной функцией Ф(t) – единичной ступенчатой функцией.
      2. Решите это дифференциальное уравнение с использованием оператора

Odesolve(t, a, b) и постройте график решения.

    1. Численное определение весовой характеристики звена
      1. С помощью блока Given задайте дифференциальное уравнение, соответствующее передаточной функции, с нулевыми начальными значениями и входной функцией Impuls1(t, ti) – импульс единичной величины с длительностью ti

(эта функция отсутствует в Mathcad и определяется самостоятельно через Ф(t)).

      1. Решите это дифференциальное уравнение с использованием оператора Odesolve(t, a, b) и постройте графики решения для трех значений ti, последовательно уменьшающихся в два раза.

Определение характеристик звена второго порядка с интегратором

Пункты 1.1 – 1.5 повторите для звена с передаточной функцией

W( s )

k

s( T s  1)

01

с параметрами, указанными в таблице 1 в соответствии с

номером варианта.

Определение характеристик звена второго порядка с двумя апериодическими звеньями

Пункты 1.1 – 1.5 повторите для звена с передаточной функцией

W( s )

k

( T s  1)( T s  1)

01 02

с параметрами, указанными в таблице 1.

Определение характеристик колебательного звена второго порядка

Пункты 1.1 – 1.5 повторите для звена с передаточной функцией

k W(s)  T 2 s  2Ts  1

с параметрами, указанными в таблице 1. Заметим, что

взаимосвязь параметров

T , 

и постоянными времени

T01 , T02

таблицы в

методических указаниях для проведения численного эксперимента принята согласно

T02 T01

формулам: T  0,316

T01T02 ;

  0,158 .

  1. Выводы по работе (о соответствии результатов п.1.2 и п.1.4, п.1.5)

Ниже приводится пример программного модуля выполнения работы.

  1. Описание звена T  1

K

K  2

1

1

W2(p) 

W(p) 

Tp  1

W1(p) 

(p  1)2

p 2  1.4142p  1

  1. Аналитическое определение переходной и весовой характеристик звена Нахождение переходной функции

W2(p)

h(t) 

p

invlaplace 1.0e21  (5.0e20  4.9999041009196633608e2)0ei ( 0.7071 0.70711356230806378163i)t  (4.999904

p

Нахождение весовой функции

w(t)  W(p)

invlaplace

p

 2e t

Построение графиков переходной и весовой функций

h(t)

w(t)

(t)

21

110

20

510

0 7

0 2 4 6

t

  1. Определение переходной и весовой характеристик звена моделированием
    1. Определение переходной функции

Given

Td

dt

x(t)

x(0) 0

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»   x(t)

K(t)

x  Odesolve (t  10 1000)

h(t)

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

x(t)

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

(t)

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

2

Лабораторные работы по дисциплине &#171;Основы оптимального управления электроприводами&#187; 1.5

1

0.5

0

0 2 4 6

t

    1. Нахождение весовой функции

Определение единичного импульса c длительностью ti:

Impuls1(t ti) 

1

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» ((t)  (t  ti))

ti

Расчет весовой функции

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Given x(0) 0

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Td

dt

x(t)

  • x(t)

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» KImpuls1(t 0.25)

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» x  Odesolve (t  10 1000)

Лабораторные работы по дисциплине &#171;Основы оптимального управления электроприводами&#187; 2

x(t)

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

w(t)

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

Impuls1(t  0.25)

1.5

1

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

0.5

00 2 4 6

t

Рис. 4. Определение временных характеристик звеньев в MathCAD

Таблица 1

Вариант k T01 T02
1 1 0,5 0,01
2 2 0,25 0,5
3 3 0,1 0,25
4 1 0,25 0,2
5 1 0,25 1
6 2 0,05 0,25
7 4 0,05 0,25
8 4 0,5 0,1
9 2 0,5 0,25
10 3 1 0,5
11 3 0,5 0,05
12 1.5 0,25 0,2
13 2 0,75 0,01
14 5 0,45 0,1
15 3 0,9 0,05
16 2.5 0,36 0,67
17 1.5 0,34 0,52
18 4 0,8 0,2
19 4.5 0,7 0,12
20 3.5 0,3 0,95
21 5 0,1 0,6
22 4 0,8 0,3
23 1 0,65 0,5
24 2 0,45 0,55
25 4 0,72 0,35

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе формируется как листинг из MathCAD выполнения указанных пунктов в порядке исследования с добавлением от руки выводов по работе, формулируемых на основе графиков и числовых данных полученных входе исследований.

Контрольные вопросы

      1. Математически опишите и поясните типовые входные воздействия систем управления, а именно, 1) единичная ступенчатая функция, 2) единичный импульс, 3) идеальный единичный импульс.
      2. Как называются реакции системы на типовые воздействия ?
      3. Дать определения переходной, весовой (импульсной) и передаточной функциям объекта, указать их взаимосвязь.
      4. Пояснить на примере объекта первого порядка способы расчета переходной и весовой (импульсной) функций по заданной передаточной функции объекта (классический и операторный способы расчета переходных процессов).
      5. Изобразите графики переходных функций типовых звеньев. Как параметры звеньев влияют на вид графика ?
      6. Поясните физический смысл первичных показателей качества системы управления и процедуру графического определения их значений.

Библиографический список

        1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования.- М.: Наука, 1975.- 7S7 с.
        2. Поляков К.Ю. Теория автоматического управления для чайников. – С.- Петербург, 2008. – 80 с. (http://kpolyakov.narod.ru).
        3. Капалин В.И. Шаповалова Н.Е. Линейные системы управления в системе компьютерной математики Mathcad. Уч. пособие. – М. Изд-во Перо, 2013. – 132 с.
        4. Макаров Н.Н., Феофилов С.В. Применение пакета Mathcad в анализе и синтезе систем автоматического управления. Уч. пособие. – Тула, Изд-во ТулГУ, 2006. – 170 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3. Исследование систем управления в пространстве состояний

  1. Цель работы. Изучение методики составления уравнений объекта в пространстве состояний, способов нахождения фазовых траекторий объекта и решения дифференциальных уравнений Коши в среде Mathcad.

Краткие теоретические сведения

    1. Модель в пространстве состояний

Объект управления (ОУ) по определению представляет совокупность технических устройств, нуждающихся в специальном организационном воздействии (управлении) для получения целевого результата – (рис. 1).

Рис. 1. Объект управления

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами»

Величины, оказывающие влияние на поведение объекта называются воздействиями. Выделяют следующие векторы воздействий:

u1

 

U (t)  … 

u

  • вектор управляющий воздействий (управлений);

m

f1

 

F (t)  … 

— вектор возмущающих воздействий, описывающих

 

f

k

влияние окружающей среды на данный объект;

y1

 

Y (t)  …  — вектор выходных сигналов – сигналов датчиков,

 

y

n

установленных на ОУ.

При описании ОУ в пространстве состояний вводится дополнительный вектор состояний или вектор фазовых координат объекта

x1(t) 

 

X (t)  …  .

x (t) 

n

По определению вектор X (t) называется вектором состояния объекта, если он

обладает следующими двумя свойствами:

  1. для данного ОУ вектор состояния должен иметь минимальную размерность;
  2. размерность должна быть достаточной для того, чтобы, зная

начальное состояние

X (t0 )

и входные воздействия на объект, рассчитать

состояние объекта в следующий момент времени X (t0  t) .

В теории автоматического управления для объектов, движение которых описывается дифференциальным уравнением n-ого порядка, часто используется канонический вектор состояния

y(t) 

x1   yɺ(t) 

   

X (t)  …   …  , (11)

x   

n   y(n1) (t) 

 

образованный из производных выходного сигнала объекта. Возможность использования этого вектора в качестве вектора состояния объекта вытекает из теории дифференциальных уравнений, из которой известно, что решение

y(t)

дифференциального уравнения n-ого порядка можно однозначно

определить, задав n начальных условий: функцию

y(t0 )

в начальный момент

времени и ее производные

y(i) (t ),

i  1, 2,…, n 1, т.е. задав вектор состояния в

начальный момент времени

0

X (t0 ) . При этих условиях можно рассчитать

решение

y(t)

и найти значение вектора (11) в любой момент времени –

следовательно, согласно определению вектор (11) является вектором состояния для рассматриваемого объекта.

При выборе вектора состояния для исследуемого ОУ используется два подхода:

  1. физический подход – компоненты вектора состояния выбираются таким образом, чтобы они имели ясный физический смысл;
  2. математический подход – вектор состояния выбирается таким образом, чтобы задача управления математически решалась наиболее простым способом.

Для решения задач анализа и синтеза строится математическая модель объекта управления, представляющая собой ряд математических соотношений между компонентами указанных векторов, позволяющих при заданных входных воздействиях рассчитать значения выходных сигналов объекта.

В пространстве состояний модель ОУ представляет собой систему дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши:

xɺi (t)  i [x1 (t),…, xn (t), u1 (t),…, um (t), f1 (t),…, fk (t)],

i  1, 2,…, n;

, (12а)

y j (t)  nj [x1 (t),…, xn (t)], j  1, 2,…, r,

или в векторной форме

Xɺ (t)  [ X (t),U (t), F (t)],

Y (t)  N[ X (t)].

(12б)

Первое уравнение (12б), являющееся дифференциальным, называется уравнением состояния объекта, а второе алгебраическое – уравнением наблюдения (измерений) объекта.

Часто используется линейные модели объектов, в которых функции

(),

N ()

являются линейными функциями своих аргументов:

Xɺ (t)  AX (t)  BU (t),

Y (t)  CX (t),

(13)

где А, В, С – матрицы параметров объекта соответствующих размерностей.

Пример. Рассмотрим ОУ, заданный следующей передаточной функцией

W ( p) 

K

(T1 p 1)(T2 p 1)

(14)

Составим описание данного объекта в пространстве состояний с каноническим вектором состояний. С этой целью предварительно запишем соответствующее дифференциальное уравнение объекта по его передаточной функции:

или

W ( p) 

K

(T1 p 1)(T2 p 1)

Y ( p)

U ( p)

(T1 p 1)(T2 p 1)Y ( p)  KU ( p),

(TT p2  (T T ) p 1)Y ( p)  KU ( p).

1 2 1 2

Так как передаточная функция определяется как отношение преобразований Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях, то

p d , y(t)  Y ( p), yɺ(t)  pY ( p), ɺyɺ(t)  p2Y ( p) . С использованием данных

dt

соотношений переходим от операторного уравнения к дифференциальному

T1T2 ɺyɺ(t)  (T1  T2 ) yɺ(t)  y(t)  KU (t) . (15)

С использованием канонического вектора состояний

x1 (t)   y(t) 

X (t)   x (t)    yɺ(t) 

(16)

 2   

дифференциальному уравнению (15) второго порядка и можно поставить в соответствие систему двух дифференциальных уравнений:

xɺ1 (t)  x2 (t)

1 1 1 K

(17)

xɺ (t)   x (t)  (  )x (t) 

U (t)

 2

TT 2

T T 2 TT

1 2 1 2 1 2

Уравнения (17) представляют описание объекта (14) в фазовом пространстве с вектором состояний (16).

Модель объекта (17) можно записать в матричном виде

xɺ   0 1

 x   0 

 1   

1 1 1

 1    K U (t) , (18)

xɺ2 

  TT

( 

T T

)  x2 

TT

 1 2 1 2   1 2 

y1   x1

y   (1 0)  x

 2   2 

с матрицами параметров

 0 1   0 

A   1 1 1 ,

B   K  ,

C  1 0 . (19)

  TT

( 

T T

)   TT

 1 2 1 2   1 2 

Решение дифференциальных уравнений Коши в Mathcad

Запись моделей в единой форме (12) (форме Коши) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах. Например, в пакете Mathcad для решения систем дифференциальных уравнений (12) разработаны следующие функции (процедуры): rkadapt, Rkadapt, rkfixed, Bustoer.

Эти функции имеют аналогичное обращение к ним, которое поясним на примере функции Rkadapt(X0, t0, tk, N, F).

Rkadapt(X0, t0, tk, N, F) — ищет решение дифференциального уравнения или системы с использованием метода Рунге — Кутты с переменным шагом (там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается). Возвращается решение с равным шагом, определяемым числом точек N.

Аргументы вышеуказанной функции имеют следующий смысл: Х0 — вектор начальных условий;

t0, tk — границы интервала для поиска решения; N — количество точек на интервале;

F(t,X) — вектор-функция первых производных – правых частей уравнений Коши.

В результате работы указанных функций рассчитывается матрица, количество столбцов которой на единицу больше числа уравнений системы, а количество строк равно параметру N. Первый столбец содержит значения независимой переменной t, второй – значения первой фазовой координаты, третий — значения второй фазовой координаты системы и т.д. – см. пример.

Способы расчета фазовых траекторий объекта

Существует 4 способа построения фазовых траекторий. Рассмотрим их содержание на примере объекта с передаточной функцией интегратора

второго порядка

W ( p) 

K , который в каноническом фазовом пространстве

p2

описывается системой дифференциальных уравнений:

xɺ1 (t)  x2 (t)

xɺ (t)  KU (t)

(20)

 2

Для простоты расчетов построение фазовых траекторий проведем при единичном ступенчатом управляющем воздействии U (t)  1(t) .

Способ 1. Основан на решении системы дифференциальных уравнений

  1. или дифференциального уравнения второго порядка

ɺxɺ1(t)  KU (t),

x1 (0)  x10 ,

xɺ1 (0)  x2 (0)  x20

и единичном ступенчатом входном воздействии U (t)  1(t) :

xɺ2 (t)dt   K 1(t)dt x2 (t)  Kt C1 .

Определим фазовую координату

x1(t) из первого уравнения системы (20)

x (t)  x (t)dt  1 Kt 2C t C .

1  2 2 1 2

Найдем постоянные интегрирования C , C из начальных условий

В результате получаем

1 2

x 2 (0)  x20  C1 , x1(0)  x10  C2 .

x (t)  1 Kt 2x t x ,

 1 20 10

 2

(21)

x (t)  Kt x .

 2 20

Уравнения (21) параметрической форме описывают фазовую траекторию системы – зависимость одной фазовой координаты объекта от другой, т.е.

функцию

x1 

f (x2 ) (или

x2 

f (x1) ).

Способ 2. Состоит в исключении времени t из системы уравнений (21).

Подставляя значение t  1 (x x

) из второго уравнения системы уравнений

K

  1. в первое, получаем

2 20

1

x1 

2K

2 1 2

2 10 2K 20

явное уравнение фазовой траектории системы – параболическую зависимость фазовых координат между собой.

x x

x

Способ 3. Исключение времени непосредственно из системы дифференциальных уравнений (20). Для этого перепишем эту систему уравнений в развернутом виде:

dx1  x ,

dt 2

dx2  K.

 dt

Разделим первое уравнение данной системы на второе:

dx1  1 x

2

dx2 K

  • найдем дифференциальное уравнение фазовой траектории объекта.

Решив уравнение (23) при соответствующих начальных условиях, получим уравнение фазовой траектории объекта

dx1 dx

1 x dx x

1 x2C

dx 2

  • ту же самую параболу (22).

2

K 2 2 1

2K 2

Способ 4 представляет развитие и уточнение способа 3. Часто уравнение фазовой траектории (23) получается сложным, которое аналитически не решается. В том случае решение дифференциальное уравнение фазовой

траектории находится численно с последующим построением графика

зависимости

x1 

f (x2 ) .

Задания и порядок проведения исследований

Задание. Используя (модифицируя) программный модуль лабораторной работы в Mathcad (см. рис. 3) требуется провести описанные ниже исследования для заданного объекта, передаточная функция и параметры которого определяются согласно таблице 1 в зависимости от

номера варианта, причем для четных вариантов

W( s )

k

s( T s  1)

01

, а для

нечетных – W( s )

k .

( T s  1)( T s  1)

01 02

Таблица 1. Параметры передаточных функций

Вариант k T01 T02
1 1 0,5 0,1
2 2 0,25 0,5
3 3 0,1 0,25
4 1 0,25 0,2
5 1 0,25 1
6 2 0,05 0,25
7 4 0,08 0,24
8 4 0,5 0,1
9 2 0,5 0,25
10 3 1 0,5
11 3 0,5 0,05
12 1.5 0,25 0,2
13 2 0,75 0,01
14 5 0,45 0,1
15 3 0,9 0,05
16 2.5 0,36 0,67
17 1.5 0,34 0,52
18 4 0,8 0,2
19 4.5 0,7 0,12
20 3.5 0,3 0,95
21 5 0,1 0,6
22 4 0,8 0,3
23 1 0,65 0,5
24 2 0,45 0,55
25 4 0,72 0,35

Порядок исследований и представления их результатов

  1. Создать текстовый блок, содержащий название работы, ФИО студента, номер варианта, отформатировать текст в соответствии с образцом, приведенном на рис. 2.

Лабораторная работа №4.Исследование систем управления в пространстве состояний

Выпонил: студент гр. 111111 Иванов И.И.

Вариант: N

Дата: 01.03.2016 г.

Рис. 2. Образец форматирования текста

  1. Указать передаточную функцию объекта и ее параметры

W(p) =

  1. Сформировать матрицы А и В описания объекта в каноническом пространстве состояний.
  2. Сформировать вектор-функцию F(t, X) правой части описания системы управления в форме Коши при u(t)=1(t).
  3. Задать начальные условия объекта x1(0) = 0 и x2(0) = 0, решить систему дифференциальных уравнений, описывающих САУ и построить графики ее переходных процессов – графики изменения ее фазовых координат (заметим, они при указанных условиях совпадают с графиками переходной и весовой функций системы).
  4. Используя матрицу Z решения системы дифференциальных уравнений построить фазовую траекторию САУ.
  5. Аналитическое (аналитически-численное) определение фазовых траекторий системы.

Дать вывод уравнения фазовой траектории объекта и рассчитать ее любым другим методом, указанным в теоретической части работы.

  1. Выводы по работе (о соответствии результатов п.5 и п.6) Пример программного модуля выполнения лабораторной работы.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 3.

И с с л е д о в а н и е С А У в п р о с т р а н с т в е с о с т о я н и й

В ы п о н и л : с т у д е н т г р . 111111 И в а н о в И .И .

В а р и а н т : N

Д а т а : 01.03.2016 г .

  1. О п и с а н и е о б ъ е к т а

T1  1

T2  2

W(p) 

K  2

K

(T1p  1)(T2p  1)

  1. Ф о р м и р о в а н и е м а т р и ц А и В о п и с а н и я о б ъ е к т а в п р о с т р а н с т в е с о с т о я н и й

ORIGIN 1

 0 1 

 0 

A    1 1 1  B   K 

    

 T1T2 T1

T2 

 T1T2 

 0 1 

 0 

A  B 

0.5 1.5

 1 

  1. Ф о р м и р о в а н и е в е к т о р-ф у н к ц и и F(t, X) п р а в о й ч а с т и о п и с а н и я С А У

F(t X)  AX  B(t)

  1. Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я с и с т е м ы

 0

t0  0

tk  10

n  10000

j  1 n

X0 

 0

Р е ш е н и е с и с т е м ы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й и п о с т р о е н и е г р а ф и к о в п п

Z1  Rkadapt(X0 t0 tk  n F)

Z1 

1 2 3
1 0 0 0
2 1·10-3 4.998·10-7 9.993·10-4
3 2·10-3 1.998·10-6 1.997·10-3
4 3·10-3 4.493·10-6 2.993·10-3
5 4·10-3 7.984·10-6 3.988·10-3
6 5·10-3 1.247·10-5 4.981·10-3
7 6·10-3 1.795·10-5 5.973·10-3
8 7·10-3 2.441·10-5 6.963·10-3
9 8·10-3 3.187·10-5 7.952·10-3
10 9·10-3 4.032·10-5 8.939·10-3
11 0.01 4.975·10-5 9.925·10-3
12 0.011 6.017·10-5 0.011
13 0.012 7.157·10-5 0.012
14 0.013 8.395·10-5 0.013
15 0.014 9.732·10-5 0.014
16 0.015 1.117·10-4

Лабораторные работы по дисциплине &#171;Основы оптимального управления электроприводами&#187; 2

1.5

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Z1j  2

1

Лабораторные работы по дисциплине «Основы оптимального управления электроприводами» Z1j  3

0.5

0

0 2 4 6 8 10

Z1j  1

6 П о с т р о е н и е ф а з о в о й т р а е к т о р и и С А У

0.5

0.4

0.3

Z1j  3

0.2

0.1

0

0 0.5 1 1.5 2

Z1j  2

  1. Аналитическое (аналитически-числен ое) определение фазовых траекторий

Рис. 3. Программный модуль для выполнения лабораторной работы

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе формируется как листинг из Mathсad выполнения указанных пунктов в порядке исследования с добавлением от руки выводов по работе, формулируемых на основе графиков и числовых данных полученных входе исследований.

Контрольные вопросы

  1. Дать определения векторам управления, наблюдения и состояния объекта; привести их примеры.
  2. Сформулировать основные подходы к выбору вектора состояния для конкретного объекта.
  3. Пояснить способ определения матриц А, В, С описания линейного объекта в пространстве состояний по его заданной передаточной функции.
  4. Пояснить основные четыре способа определения фазовых траекторий объекта управления.
  5. Пояснить смысл параметров в процедуре Rkadapt(X0, t0, tk, n, F) и элементов ее выходной матрицы Z.

Библиографический список

    1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования.- М.: Наука, 1975.- 7S7 с.
    2. Поляков К.Ю. Теория автоматического управления для чайников. –

С.-Петербург, 2008. – 80 с. ().

    1. Макаров Н.Н., Феофилов С.В. Применение пакета Mathcad в анализе и синтезе систем автоматического управления. Уч. пособие. – Тула, Изд-во ТулГУ, 2006. – 170 с.
    2. Капалин В.И. Шаповалова Н.Е. Линейные системы управления в системе компьютерной математики Mathcad. Уч. пособие. – М. Изд-во Перо, 2013. – 132 с.
50 ГЕНИАЛЬНЫХ СПОСОБОВ СПИСАТЬ НА ЭКЗАМЕНЕ / ШКОЛЬНЫЕ ЛАЙФХАКИ + КОНКУРС50 ГЕНИАЛЬНЫХ СПОСОБОВ СПИСАТЬ НА ЭКЗАМЕНЕ / ШКОЛЬНЫЕ ЛАЙФХАКИ + КОНКУРС

Отзывы

Отзывов пока нет.

Будьте первым кто оставил отзыв;

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *


Заказать