Контрольная по курсу ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИИ ТОГУ

ОБРАБОТКА МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Освоить основные приемы статистической обработки результатов многократных измерений:

• построение вариационного ряда, гистограммы частот (час-тостей);
• нахождение среднего арифметического, медианы, моды; проверка гипотезы о виде закона распределения по виду гистограммы и проверка на промахи;
• вычисление оценки СКО измерений и оценки СКО среднего арифметического;
• построение доверительного интервала для неизвестного ис­тинного значения.

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При многократных измерениях (число измерений n > 4 ) физиче­ской величины (ФВ) постоянного размера за результат измерений обычно принимается среднее арифметическое (СА):

n
__                  i

X = ———— .                                                     (1)

n Иногда, вместо СА, используют медиану при нечетном числе изме­рений:

X Me  = X n₊1 ,                                                      (2)

2

а при четном пользуются формулой

X Me = \Xn +Xn ₊₁ J/2 ,                                       (2.1)

2                2

5

причем предварительно результаты измерений X_i располагают в не-убывающем порядке (такой ряд измерений называется вариационным) X₁ ≤ X₂ ≤ …. ≤ X _n .

Реже используется мода X Мо как значение, соответствующее мак-симуму гистограммы.

Все эти оценки определяются по выборке и выражаются одним чис-лом, то есть точкой на числовой оси, и называются точечными выбо-рочными оценками.

Важными свойствами точечных оценок являются следующие:

• Несмещенность; оценка (например X ) параметра ( X_ист ) назы-вается несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает с оцениваемым параметром ( X_ист ).
• Состоятельность; оценка называется состоятельной, если с уве-личением объема выборки n (числа измерений) вероятность то-го, что оценка сходится к истинному значению, возрастает и стремится к единице при объеме выборки, стремящемся к беско-нечности.
• Эффективность; оценка называется эффективной, если она обла-дает минимальной дисперсией по сравнению с другими оценка-ми.

Чаще всего используется среднее арифметическое. Оно обладает весьма важными преимуществами перед другими оценками:

1)   при любом законе распределения ошибок (с конечными матема-тическим ожиданием и дисперсией) СА является несмещенной и со-стоятельной оценкой математического ожидания (истинного значения).

2)   дисперсия СА в n раз меньше дисперсии отдельных результатов измерений, то есть дисперсии ошибок;

3)   в случае нормального распределения ошибок измерений СА яв-ляется эффективной оценкой математического ожидания;

4)   в случае нормального распределения ошибок измерений СА рас-пределено нормально, а при других распределениях ошибок — асим-птотически нормально, то есть быстро сходится к нормальному с рос-том числа измерений (увеличением объема выборки).

6

Найденное по выборке случайных величин X  является случайной величиной. Разность между ним и неизвестным истинным значением

Δ = X -X_ист, называемая в метрологии погрешностью, остается не­известной (эта разность также случайная величина, ее правильнее назы­вать ошибкой среднего арифметического). Если бы дисперсия σ _X слу­чайной величины X  была известна, то дисперсия σX СА, вычислен-

2        <5^X
но го по выборке объема n, была бы тоже известна: σ— =———- . В этом

n случае можно было бы построить доверительный интервал для X_ист :

X — U_{α 2}σX ≤ X_ист ≤ X + U_{α 2}σX,

где σ— — СКО среднего арифметического; U_α   — квантиль (кри-

X                                                                              72

тическое значение) нормального нормированного распределения, соот­ветствующая двухстороннему уровню значимости α (или доверитель­ной вероятности P_д = 1 — α ).

В приложении даны таблицы интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения (табл. 1 и 2).

При неизвестной дисперсии σ _X  (и неизвестном истинном значении X_ист ) ее точечной несмещенной и состоятельной, а при нормальном

распределении ошибок и эффективной оценкой является выборочная оценка дисперсии

_∑ ⁿ(Xi-X)

S 2        ⁱ=1

X    =  ———————  .                                                      (3)

n-1 Обычно пользуются корнем квадратным из выражения (3) для вы­числения оценки СКО по выборке:

SX =

(4)

n-1

7

хотя это выражение не вполне строго и S_X  по (4) в качестве оценки

СКО является смещенной. Более точное, хотя и тоже приближенное вы-ражение для оценки СКО имеет вид

_∑ ⁿ ( X_i—X)

SX =

n -1,5

Для оценки СКО среднего арифметического S— получаем из (4)

_X

_∑ ⁿ ( Xi-X)

(6)

n(n-1)

Для построения доверительного интервала для X_ист воспользуемся называемым    дробью    Стьюдента,    которое    имеет

соотношением, t–распределение.

X —X

S_X

Пользуясь таблицами t–распределения (табл. 3 прил.) можем по-строить доверительный интервал для истинного значения X_ист

X — t_α, _νSX ≤ X_ист ≤ X + t_α, _νS

(7)

где t„/    — квантили t –распределения при уровне значимости α/2,

_α2,ν

то есть доверительной вероятности P_д = 1 — α, и числе степеней сво­боды (числе независимых слагаемых в (4) и (6)) ν = n — 1.

Интервал t_a/ S— в метрологии называется доверительной случай-

_α2_{, ν}      X

ной погрешностью.

Доверительным интервалом по выражению (7) в метрологии поль­зуются, когда ошибки измерений имеют нормальное распределение. В данной работе предлагается визуально по гистограмме проверить гипо­тезу о нормальности распределения. 8

Если установить вид распределения не удается, что бывает при ма­лом объеме выборки, погрешность результата измерения можно оце­нить с помощью неравенства Чебышева:

2

P_д\X_ист —X < sf>    ₂ ^X.                                        (8)

Задаваясь значением P_д и приравнивая его к правой части (8), на­ходим соответствующее значение е. Например, пусть P_д = 0,90. Тогда

2

P_д\X_ист —X < s|= 0,90                         ^X

s  = 3,2а

X

то есть интервал X + 3,2(7     с вероятностью, большей или равной

X

0,90, накрывает неизвестное истинное значение.

Поскольку G     обычно неизвестно, вместо него используют выбо-

X

рочную оценку S— . При этом, однако, нельзя утверждать, что интервал

X

X + 3,2S X   накроет неизвестное истинное значение с вероятностью,

большей или равной заданной, так как S— является случайной величи-

_X

ной и может быть больше СX (тогда вероятность накрытия X_ист бу­дет больше заданной) или меньше (тогда вероятность будет меньше). Можно лишь надеяться, что вероятность накрытия не слишком отлича­ется от заданной. Строго говоря, это же замечание относится и к дове­рительному интервалу (7), если он определен по единственной выборке, как это обычно имеет место в метрологии.

Среднее арифметическое весьма чувствительно к промахам (грубым ошибкам), то есть не является робастной (устойчивой) оценкой, такой результат подлежит исключению. Прежде всего таковыми могут ока­заться X_min или X_max . При нормальном распределении случайных ошибок измерений вопрос об исключении отдельного результата реша-

9

ется с помощью статистических критериев. Вычислив предварительные оценки X и S_X , можно проверить X_min и X_max по статистике для резко выделяющихся наблюдений:

Xmax -X    I     n

ν=—————- J——- —————————————- (9)

S_X      V n -1

или

X —X

ν=——- min

S_X   \

Вычисленные по формуле (9 или 10) значения статистики ν следует сравнить с критическим (предельным для данной статистики) значени-ем, приведенным в табл. 4 приложения (для уровня значимости α=0,05). Если вычисленное значение ν превышает ν_кр, результат при-знается промахом и должен быть отброшен. После исключения промаха

вычисления X   и S_X производятся заново без учета отброшенного ре-

зультата.

Для построения гистограммы вариационный ряд разбивают на ин-тервалы одинаковой, произвольной или специальным образом выби-раемой длины. В простейшем случае берутся интервалы одинаковой длины.

Число результатов отдельных измерений в каждом интервале n_k на-зывается частотой попадания в k–й интервал, а относительная частота

n_k

называется частостью, где n — общее число измерений. Если от-n

ложить по оси абсцисс границы интервалов, а по оси ординат — часто-ты или частости, то можно построить график в виде прямоугольников, ширина которых равна длине интервала, а высота — соответствующей частоте или частости. Такой график называется гистограммой частот или гистограммой частостей соответственно. На гистограмме частот сумма всех высот прямоугольников равна n, а на гистограмме частостей — единице. Существует также гистограмма статистического распреде-

10

ления.   Для  ее  построения  по  оси  ординат  откладывают  значения

———- , где Δ X_k — длина k – го интервала.

n Δ X_k

Если длины всех интервалов одинаковы (Δ X_k = const), все три

гистограммы совпадут при соответствующем выборе масштаба по оси ординат. Построив любую из гистограмм с интервалами одинаковой длины, можно по ее общему виду сделать предварительное заключение о возможном виде закона распределения. Это заключение будет более надежным, если на гистограмму нанести и теоретические значения час­тот, частостей или дифференциальной функции распределения, соеди­нив их плавной кривой. При этом теоретические значения следует отно­сить к серединам интервалов. Теоретические значения вычисляются в соответствии с предполагаемым законом распределения, в котором не­известные параметры заменяются, их выборочными оценками.

В данной работе предлагается по гистограмме частостей с интерва­лами одинаковой длины Δ X_k = h (h — называется также шагом гис­тограммы) проверить предположение о нормальном законе распределе­ния результатов отдельных измерений. Частость есть оценка вероятно­сти попадания результата в k –й интервал. Теоретическая вероятность P_k может быть вычислена по формуле

P_k = P{ X_k <X <X_k+1} = Ф(Z_k+1)—Ф(Z_k),     (11)

где    X_k,X_k+1   — нижняя и верхняя границы k – го  интервала;

X-X

Z_k =     _k; Ф( Z _k ) — значение интегральной функции нормиро-

SX

ванного нормального распределения для Z = Z _k (табл. 1 прил.).

В заключительной части работы предлагается обработать как само­стоятельные выборки 4 подмассива одинакового объема. Построение гистограмм для подмассивов теряет смысл из-за малости их объема. Вид закона распределения предлагается считать неизвестным (но с ко­нечными математическим ожиданием и дисперсией) и для построения доверительного интервала воспользоваться неравенством Чебышева.

11

Для вычисления оценки СКО применить формулу

Sj= WL,                                                        (12)

где W_n = X_max, — X_min, ; j — номер подмассива; n— объем подмассива; dn — табулированный коэффициент (табл. 5 прил.).

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1.  Для более полного представления о случайных ошибках по ос­
новному протоколу измерений построить вариационный ряд и гисто­
грамму частостей.

Шаг гистограммы принять равным h ~      r , где W_n  — размах

варьирования: W_n = X_max — X_min , а r — число интервалов (r=5 или 6).

Для построения гистограммы данные представить в виде табл. А.

3.2.   Определить по вариационному ряду медиану, используя форму­
лу (2) или (2.1).

3.3.     Вычислить точечные оценки параметров распределения по
формулам (1) и (4).

3.4.         Вычислить по формуле (11) теоретические значения вероятно­сти попадания результатов отдельных измерений в k-й интервал, запол­нить табл. В. Нанести на гистограмму график теоретической вероятно­сти попадания в k –й интервал и сравнить с гистограммой. Подтвердить или отвергнуть предположение о нормальном законе распределения в соответствующем выводе.

3.5.   Если распределение признано нормальным, проверить массив данных по критериям (9), (10). Исключить обнаруженные промахи и по­вторить обработку по пп. 3.3. и 3.5.

3.6.   Построить доверительный интервал для неизвестного истинно­го значения X_ист , воспользовавшись выражением (7), если гипотеза о

нормальности распределения не отвергнута, или неравенством Чебыше-ва (8), если она не может быть принята (отвергается). При этом взять

P_д = 0,90.

3.7.  Записать результат и вывод по работе.
12

Таблица А Данные для построения гистограммы

Таблица В

Данные для построения кривой торетических вероятностей

13

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

4.1.   Название и цель работы.

4.2.   Краткие теоретические сведения.

4.3.   Массив экспериментальных данных (протокол измерений для полученного варианта задания).

4.4.   Вариационный ряд.

4.5.   Размах варьирования и шаг гистограммы. Таблица данных для построения гистограммы (табл. А).

4.6.   Гистограмма (столбчатая диаграмма частостей). На гистограмме пунктиром провести плавную кривую, сглаживающую гистограмму..

4.7.    Теоретическая кривая вероятности попадания результата от­дельного измерения в k –й интервал (11) в виде табл. В и сплошной ли­нии на гистограмме по значениям P_k. Сделать вывод о соответствии гистограммы и предполагаемой нормальности распределения результа­тов измерений.

4.8.    Расчетные   формулы   и   результаты   вычислений.   Значения

X,   XМе,   XМо,   S_x,   Sx.

4.9.  Проверка на промахи (при нормальном законе распределения)
для уровня значимости α=0,05 и вывод о наличии промахов.

4.10.   Повторные вычисления X, XМе, S_x, Sx после исключения промахов.

4.11.   Доверительный интервал для X_ист по выражениям (7) или (8)

в зависимости от вывода о виде распределения.

Результат многократных измерений записать в виде

X_ист = X ± Δ,    P_д = 0,90,   n Вид распределения — нормальное (не установлен).

14

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Освоить основные методы и приемы проверки гипотезы о виде за-кона распределения результатов отдельных измерений методом линеа-ризации интегральной эмпирической функции распределения (метод вероятностной бумаги) с помощью критерия Колмогорова и критерия

согласия χ² на примере нормального распределения.

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При обработке экспериментальных данных и определении погреш-ности результатов измерений, основополагающим является допущение о нормальности закона распределения ошибок измерений. Это допуще-ние должно быть подтверждено. В работе 1 вывод о нормальности зако-на распределения делается по визуальному соответствию гистограммы частостей и теоретической кривой вероятности, то есть субъективно. Более объективными являются методы, использующие вероятностную бумагу и статистические критерии.

2.1. Использование вероятностной бумаги

Вероятностной называется бумага для построения графика инте-гральной функции распределения, у которой масштаб по оси абсцисс равномерен, а по оси ординат — неравномерен (кроме равномерного распределения) и соответствует проверяемому закону распределения. График интегральной функции распределения превращается на соответ-ствующей вероятностной бумаге в прямую линию. Установить прямо-линейность проще, чем определить соответствие (близость) двух плав-ных кривых.

Существуют нормальная, логарифмически нормальная и т.д. веро-ятностные бумаги. При отсутствии вероятностной бумаги и в случае равномерного распределения пользуются обычной миллиметровой, вы-

15

числяя значения ординат в соответствии с проверяемым законом рас­пределения.

Для проверки гипотезы о виде закона распределения необходимо расположить результаты измерений в неубывающем порядке, то есть построить вариационный ряд измерений:

-∞ <X ₁ ≤X₂ ≤ …. ≤X_n < ∞ .

Получаем (n+1) интервал:

(-∞,X1), (X₁, X₂ ), …,( X_n-1,X_n), (X_n,∞).

Поставив в соответствие каждому значению X_i вариационного ря­да в качестве оценки функции распределения F(X) i/(n + 1) -ю долю эмпирической функции распределения и пользуясь таблицами предпо­лагаемого закона распределения, находят теоретические значения аргу­мента, соответствующие значениям, полученным в опыте для оценки

интегральной функции F_n (Xi ). Например, предполагая распределение

нормальным    при    n= 7   для    X_i,     для    вычисленного    значения

F₇(X₁ ( = 1/8 = 0,125 по табл. 1 приложения находим Z₁ = -1,150,

для F₇X₂ ) = 2/8 = 0,250 находим Z₂ =-0,674 и т.д. Поскольку

X_i -X
между Z i и X i существует линейная связь Z   =——————— (при неиз-

SX вестных μ и σ заменяем их выборочными точечными оценками), вы­числять соответствующие теоретические значения X _т      нет необхо­димости, так как характер графика не изменится, если по оси ординат мы отложим значения Z ₁,  Z ₂   и так далее, а соответствующие им

опытные значения X₁, X₂ и так далее отложим по оси абсцисс. Распо­ложение точек на графике вдоль прямой линии подтверждает линейную зависимость между экспериментальными значениями измерений X_i и

теоретическими Zi, что свидетельствует о возможности принятия ги­потезы о виде закона распределения.

16

Проведя на глаз прямую линию через точки, можно приближенно найти оценки X гр, S_X значений X _ист , а. Значение абсциссы в точ­ке пересечения ее с построенной прямой равно X гр . Значение S_X

можно найти по углу наклона прямой. Эти оценки, как и само установ­ление факта прямолинейности, являются приближенными. Однако бли­зость графических оценок к вычисленным значениям X и S_X (смотри

работу 1) является подтверждением правильности гипотезы о законе распределения.

2.2. Использование критерия Колмогорова

Для определения допустимых отклонений эмпирической функции распределения от теоретической существуют непараметрические (сво­бодные от распределения) критерии Колмогорова, Смирнова и другие.

В табл. 6 прил. даны критические значения статистики Колмогорова (Колмогорова-Смирнова), определяющие максимальное расстояние по модулю между эмпирической и теоретической функциями при а=0,10 и а=0,05 для разных n.

Пользуясь табл. 6 прил. можно построить доверительную зону для

теоретической функции распределения  F\X ):

P\D_n <D_n   ) = P\\F_n[X_i)-F[X)|<D_n   ) = P_д,

тогда

P \F_n [Xi ) — D_n    < F\X )^F_n [Xi) + D_n    ) = P_д.                             (13)

Из табл. 6 прил. видно, что доверительная зона очень широка при малых n и убывает с ростом n довольно медленно, следовательно, для надежного установления вида закона распределения требуются выборки большого объема.

Более наглядное представление о критерии Колмогорова можно по­лучить, построив график эмпирической функции распределения, на ко­торый наносится также теоретическая интегральная функция, соответ­ствующая проверяемому закону распределения. При этом, как и ранее, при неизвестных //и<7 используют их выборочные точечные оценки.

17

Найденное по графику во всем интервале значений X_i максимальное отклонение эмпирической функции от теоретической D_max сравнива­ется  с  допустимым  значением   D _n    .  Гипотеза  отклоняется,   если

max            n,кр .

2.3. Использование критерия согласия

г²

При объеме выборки n>40 для проверки гипотезы о виде распреде­ления применяют критерий согласия % (критерий Пирсона). Он при­меняется для группированных данных (как при построении гистограм­мы), когда в каждом интервале находится не менее 5 измерений. Если число измерений в интервале оказывается меньше 5, этот интервал объ­единяют с соседним. Критерий согласия

х²

имеет вид ^r  (n  —nP_k )²

X     =  У,——————- —Хукр,                          (14)

k=1     nPk

где n_k — число данных в k –м интервале (k=1, 2,… ,r); P_k — тео­ретическая вероятность попадания случайной величины X_i в k –й ин­тервал, равная при нормальном законе

k+1

P_k =   \ f(x)dx = Ф

V      Sx       J

где X_k — нижняя, а X_k+1 — верхняя границы интервала; Ф(Z ) — теоретическая интегральная функция нормированного нормального распределения; n — объем выборки; r — число интервалов; v=r-j-1 — число степеней свободы; j — число параметров закона распределения, определяемых по выборке.

В случае нормального распределения j=2, так как по выборке оце­ниваются два параметра распределения — математическое ожидание и

18

дисперсия. В случае распределения Пуассона j=1, так как математиче­ское ожидание и дисперсия его равны, по выборке определяется один параметр.

Вычисленное по (14) значение

х²

сравнивается с табличным (кри­тическим, табл. 7 прил.) при выбранном одностороннем уровне значи­мости а. Если 5С — Xv кр, то гипотеза о виде распределения принима­ется, в противном случае она отвергается и строится новая гипотеза — предполагается другой закон. Если вид закона подобрать не удается, то пользуются неравенством Чебышева для определения случайной по­грешности X (построение доверительного интервала для X _ист ).

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1. Проверка гипотезы о нормальности распределения по вероятностной бумаге

3.1.1.  Экспериментальные данные представленные в виде вариаци­
онного ряда и занести в табл. С.

При совпадении значений X_i им присваиваются разные номера, как

и в вариационном ряде.

3.1.2.   Занести в табл. С вычисленные как i /(n+1) значения эмпи­рической функции распределения F_n(X_i ).

3.1.3.   По таблицам интегральной функции нормального распределе­ния (табл. 1 прил.) найти теоретическое значение аргумента Z i, соот­ветствующее каждому значению эмпирической функции распределения F_n (X_i ). В таблице приведены теоретические значения Ф(Z) > 0,5, что

соответствует положительным значениям Z i. Для нахождения отрица­тельных Z i, соответствующих значениям функции Ф(Z) < 0,5 необхо­димо воспользоваться соотношением Ф(-Z)=1-Ф(Z).

19

3.1.4. Нанести на миллиметровую бумагу точки с координатами по

оси абсцисс, равными X_i , а по оси ординат — Z_i . Построить график,

проведя по точкам прямую линию, обращая особое внимание на сред-ние точки (крайние значения могут быть промахами и на них внимания не обращать). По обе стороны проведенной прямой должно находится приблизительно одинаковое количество точек.

Таблица С Данные для проверки закона распределения

по вероятностной бумаге.

3.1.5.  Найти по графику оценку среднего арифметического X гр и
СКО   S_{X ,гр} , сравнить их с соответствующими расчетными результата-

ми (1) и (4).

3.1.6.  Сделать вывод о справедливости гипотезы о нормальности за-
кона распределения.

3.2. Проверка нормальности по критерию Колмогорова

3.2.1. По табл. 6 прил. найти и выписать критическое значение D_n,кр для доверительной вероятности P_д = 0,90 .

20

3.2.2.  Построить график (на миллиметровой бумаге) эмпирической
функции распределения F_n (X_i ) (по табл. С) в виде ступенчатой лома-
ной линии полагая, что функция имеет постоянную величину от изме-
рения до измерения, а в самой измеренной точке X_i имеет рост до соот-

ветствующего расчетного значения F_n (X_i ) .

3.2.3.  Используя данные для построения кривой теоретических ве-
роятностей (табл. В), заполнить колонки 2 и 3 табл. D. Значения функ-
ции в колонках 4 и 5 не могут быть меньше 0 и больше 1. В ячейках
таблицы, где условие не выполняется ставятся прочерки.

Таблица D Данные для проверки закона распределения по критерию Колмогорова.

3.2.4.  Построить график функции Ф(Z_k) (по табл. D) на том же
графике,  где построена эмпирическая функция   F_n ( X_i).  При этом

учесть, что Ф ( X ) = 0,5 .

3.2.5.  Вычислить доверительную полосу Ф(Z_k)±D , запол­
нить колонки 4 и 5 табл. D, нанести на тот же график нижнюю (кол. 4
табл. D) и верхнюю (кол. 5 табл. D) границы доверительной полосы.
При этом помнить, что значение функции вероятности не может быть
меньше нуля и больше единицы.

21

3.2.6. Сделать вывод о справедливости гипотезы о нормальности за-кона распределения.

3.3. Проверка нормальности с помощью критерия согласия χ² Воспользовавшись табл. А, составить табл. Е (колонки 1 — 5).

Таблица Е Данные для проверки закона распределения по критерию согласия

Пирсона

(n_k —nP_k )²

3.3.2.   Вычислить для каждого интервала значения

занести в табл. Е.

3.3.3.  Вычислить χ²   по формуле (14).

22

3.3.4.  По табл. 7 прил. найти критическое значение χ_νкр для одно­
стороннего уровня значимости α=0,10 и ν=r-3. Сравнить вычисленное
значение

χ²

с табличным.

3.3.5.   Сделать вывод о справедливости гипотезы о нормальности за­кона распределения.

3.3.6.   Сравнить выводы по всем трем методам. В случае противоре­чивых выводов объяснить причины. Сделать общий вывод о законе рас­пределения

3.3.7.   Составить отчет

4. Содержание отчета

4.1.   Наименование и цель работы.

4.2.   Краткие теоретические сведения.

4.3.   Таблица С.

4.4.   График Z i = f(Xi ) на миллиметровой бумаге.

4.5.   Значения X гр и S_X    , сравнение с вычисленными значениями

(1) и (4).

4.6.   Вывод о законе распределения.

4.7.   Таблица D.

4.8.   Значение D_n     по табл. 6 прил.

4.9.      График     F_n(X_i)     и     Ф(Z _k),    доверительная    полоса

Ф(Zk)-Dn,кр  и  Ф(Zk) + Dn,кр

4.10.   Вывод о законе распределения.

4.11.   Таблица Е.

2

4.12.  Сравнение вычисленного значения χ    с табличным χν_{, кр} по

табл. 7 прил.

4.13.   Вывод о законе распределения.

4.14.   Сравнение выводов по пп. 4.6, 4.10 и 4.13.. Объяснение причин противоречий, общий вывод о законе распределения.

23

ОБЪЕДИНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

• Изучить основные особенности объединения результатов разных серий измерений в общий массив.
• Приобрести практические навыки обработки экспериментальных данных, полученных в нескольких сериях измерений при отсут­ствии систематических ошибок и нормальном законе распреде­ления случайных ошибок измерений.

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Измерительную информацию о физической величине постоянного (одного и того же) размера часто получают в разное время, в разных ус­ловиях, разными методами, разные операторы. Если объединить все ре­зультаты измерений в общий массив, то можно получить более точный и надежный результат за счет увеличения объема выборки. Однако объ­единение возможно только при условии однородности серий.

В математической статистике однородными называются выборки (серии), взятые из одной генеральной совокупности, то есть имеющие одинаковый вид закона распределения, одинаковые математические ожидания и одинаковые дисперсии. В метрологии серии называются однородными, если подчиняются закону распределения одного вида с одинаковыми математическими ожиданиями (дисперсии могут быть различными).

Если дисперсии в сериях одинаковы (не выборочные их оценки, а сами дисперсии), то в простейшем случае для двух серий измерений критерий однородности (t –критерий) имеет вид

\X1 -X2

≤ t _α/2_{, ν}        ,                     (16)

^S_X ² _{, об} 1/n1+1/n₂ )

24

где X1 и X 2 — средние арифметические в сериях; n₁ и n2 — объемы серий;   t_{α/2, ν}     — табличное значение t –статистики (табл. 3 прил.);

S_{X об} — объединенная оценка дисперсии σ  :

X,об

S_Xоб =     1                   X,1       2                 X,2 ,                           (17)

где S_{X ,1} и S_{X 2} — выборочные оценки дисперсии в сериях; ν _об = ₁ +n ₂ — 2 — число степеней свободы оценки S _{X об} и таб­личного значения t_{α/2, ν}   .

Прежде чем воспользоваться критерием (16), необходимо убедить­ся, что S_{X ,1} и S_{X 2} есть оценки одной и той же дисперсии σ² . Только в этом случае может быть использована объединенная оценка диспер­сии S _Xоб в виде (17). Проверка гипотезы о равенстве дисперсий в се­риях осуществляется с помощью F-критерия (критерия дисперсионного отношения).

F = S 2—≤F_{α , ν 1, ν 2},                                          (18)

X,min

где S_{X ,max} — максимальная из двух оценок S_{X ,1} и S_{X 2} , ν ₁ — число степеней свободы числителя (ν = n — 1); S_Xmin  — минимальная из

двух оценок, ν2 — число степеней свободы знаменателя. Значение F_{α , ν 1 ν} берется из таблиц F-распределения (табл. 8 прил.) при одно­стороннем уровне значимости α и числах степеней свободы числителя ν ₁ и знаменателя ν2.

Если условие (18) выполняется, гипотеза о равенстве дисперсий принимается на уровне значимости α. В противном случае она отверга­ется.

25

Если условия (18) и (16) выполняются, делается вывод об равноточ-ности и однородности серий. В этом случае все экспериментальные дан-ные объединяются и обрабатываются как единый массив.

Поскольку для серий оценки X j и S_{X ,j}  обычно бывают уже вы-

числены, то удобнее пользоваться другими формулами. Для двух серий они имеют вид

∑²     ∑ ^j                                                                  ∑²     ( ⁿ                                               )

j=1   i=1

N

(19)

∑ ( n_j-1 ) S_X ²_{, j}+∑ n_j ( X—X ) ²

j=1

n(n -1)

общее число данных объединенного массива.

j=1

Критериями (16) и (18) можно пользоваться и тогда, когда число се­рий больше двух, но n_j в сериях приблизительно одинаковы. Если серии

с максимально различающимися Xj и S _X    не будут отвергнуты кри­териями, тогда и остальные серии принимаются к объединению.

Если будет обнаружена неравноточность серий (условие (18) не вы­полнено), то гипотезу о равенстве математических ожиданий можно проверить по приближенному критерию:

X1 -X2

(20)

α/2,ν*

y_iSX,1/n1+SX2/n2

где

ν*

( S X ² ,1/n1 )²     (SX ² ,2/n2)

(21)

n1+1

n₂+1

26

Статистика t в (20) подчиняется распределению Беренса–Фишера, пользование которым весьма затруднительно из–за отсутствия нужных таблиц и сложности процедуры пользования имеющимися. Приближен-ное выражение (21) позволяет пользоваться таблицами t–распределения (табл. 3 прил.).

Если обнаружена неравноточность измерений в сериях, но серии однородны по условию (20), при совместной их обработке неравноточ-ность учитывается при расчете среднего арифметического введением весов P_j , а вычисления выполняются по формулам (22).

X =_∑ (

j=1

P_j

(22)

S_X

7=1

где L — число серий.

При построении t–интервала для истинного значения в случае объе-динения равноточных серий берут число степеней свободы ν=N-1.

При объединении неравноточных серий для построения довери-тельного интервала в метрологии обычно пользуются неравенством Че-бышева.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1. Взять дополнительный протокол результатов измерений соглас-но варианту задания и рассчитать для него оценки параметров распре-деления (1) и (3).

27

3.2.   Проверить равноточность измерений в сериях (для основного и дополнительного протоколов) по F–критерию (18) при уровне значи-мости α=0,05.

3.3.   При равноточности серий вычислить S_X² _,об   (17) и проверить

на однородность серии по t-критерию (16). При неравноточности од-нородность проверять по t -критерию (20).

3.4.  Объединить результаты однородных и равноточных серий по
формулам (19). Для однородных и неравноточных серий вычисления

X   и S     производить по формулам (22). При неоднородности серий

X

делается вывод о невозможности объединения результатов измерений в общий массив вне зависимости от равноточности выполненных изме-рений.

3.5.   Вычислить доверительный интервал (7) используя объединен-ные оценки для однородных серий и сравнить с результатами для ос-новной серии.

3.6.   Сделать вывод по работе.

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

4.1.   Название и цель работы.

4.2.   Краткие теоретические сведения.

4.3.   Протоколы измерений по сериям.

4.4.   Расчетные формулы и результаты вычислений.

4.5.   Выводы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология: Учебник для вузов. М.: Стандарт, 1991. C. 24, 25, 79 — 90, 102.
2. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. М.: Изд-во стан-дартов, 1972. C. 123 — 150, 153 — 156, 161 — 163.

28

1. Селиванов М.Н., Фридман А.Э., Кудряшева Т.Ф. Качество изме-рений. Л.: Лениздат, 1987. C. 197 — 215.
2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статисти-ки. М.: Наука, 1983. C. 9 — 13, 23 — 27, 58 — 60.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1 Интегральная функция нормированного нормального распределения

t²

0(-Z) = 1-0(Z)

σ

29

Окончание табл. 1

30

31

Окончание табл. 2

Таблица 3 Коэффициенты Стьюдента

32

Окончание табл. 3

Таблица 4 Критические значения статистики V для уровня значимости а =0,05

33

Таблица 5 Коэффициенты d_n для определения оценки среднего

квадратического отклонения S_x по размаху выборки W_n

W_n = X_max — X _min ; n — количество измерений; S _x

Таблица 6 Критические значения для наибольшего отклонения эмпирической функции распределения от теоретической (критерий Колмогорова).

Значения D _{n а} , удовлетворяющие условию P \D_n > D_na\= <x

Для n > 35 используют аппроксимации:

1,36 а = 0,05,  D_na

а = 0,10, D_na

34

Таблица 7 Распределение X    (процентные точки). Значения %_av , удовлетворяющие условию P уу² >у²    }= а или эквивалентному ус-ловию  P\у² < у²    }=1-а = P

35

Примечание: для построения двухстороннего доверительного интервала для случайной величины,    имеющей

χ²

-распределение, удовлетво­ряющего условию P {χ _{1- α *} / ₂ < χ²<χ²_{α */2}}

= P_д , следует учесть, что

P { —_{α * /2} <χ² <χ²_{α */2} } =P { χ² <χ² _{α */2} } -P { χ² <χ₁²-α*/₂ } =

= 1-α*/2-[1-(1-α*/2)] = 1-α* = P*_д .

Верхнюю границу такого интервала находят по табл. для α = α  / 2 , а нижнюю — для α = 1-α*/2.

36

№ 1

7,87 7,88 7,93 7,96 8,08 8,09 8,08 8,18

78,68 78,77 79,35 79,57 80,81 80,87 80,79 81,84

10,03 10,23 9,26 8,79 9,51 9,81 10,57 9,49

10,06 10,46 8,52 7,58 9,02 9,78 11,14 8,98

№ 5

7,97 7,69 8,16 8,06 7,84 8,11 7,97 8,03

№ 6

79,69 76,88 81,64 80,64 78,38 81,08 79,68 80,3

№ 7

8,59 9,5 9,54 10,83 11,42 7,6 9,42 9,29

№ 8

7,18

9 9,08 11,66 12,84 5,2 8,84 8,58

8,15 7,96 7,83 8,04 7,9 8,05 8,17 8,08

81,52 79,58 78,29 80,36 78,97 80,54 81,7 80,84

10,66 9,46 12,5 9,56 9,65 10,37 11,33 9,3

11,32

8,92

15

9,12

9,3

10,74

12,66

8,6

Протоколы результатов измерений

37

№ 9

№ 13

№ 10

№ 14

№ 11

№ 15

№ 12

№ 16

38                   Протоколы

измерений

4,98 4,89 4,86 5,15 5,02 5,08 4,82 5,14

49,81 48,95 48,64 51,49 50,19 50,81 48,24 51,42

9,75 9,61 8,96 10,98 10,51

9,8 10,87 11,04

9,5 9,22 7,92 11,96 11,02

9,6 11,74 12,08

№ 17

5,08        4,99

5,17 5,12 5,05 4,91 4,84 4,88 4,85

№ 18

50,82     49,93

50,79     51,67

49,81     51,2

48,95     50,55

48,8      49,14

49,85     48,37

50,5      48,81

50,87     48,51

№ 19

9,47      10,34

10.5      9,65
8,82      9,22

10,52     9,18

9,57      11,42

9,09      9,99

9.01      9,61
11,3      10,72

№ 20

8,94      10,68

11        9,3

7,64      8,44

11,04     8,36

9,14      12,84

8,18      9,98

8.02        9,22

12.6       11,44

5,05 4,93 4,99 5,08 5,11 4,91 4,91 4,94

50,55 49,32 49,93 50,81 51,08 49,06 49,15 49,36

10,19 10,51 10,76 9,15 10,55 11,54 10,9 9,1

10,38 11,02 11,52 8,3 11,1 13,08 11,8 8,2

8,11 8,2 8,78

9 10,24 10,3 10,22 11,27

12,6 12,8 11,83 11,36 12,08 12,38 13,14 12,06

12,63 13,03 11,09 10,15 11,59 12,35 13,71 11,55

8,59 8,63 8,43 8,34 8,48 8,56 8,69 8,48

№ 21

9.06     9,12
8,78     6,31

8,7      11,07

8,68     10,07

11      7,81

8,01     10,51

10,94    9,11

9.07       9,73

№ 22

12,96    11,16

14,38    12,07

12,63    12,11

12,08    13,4

11,38    13,99

11,81    10,17

11,03    11,99

13,56    11,86

№ 23

13,35    9,75

16,19    11,57

12,69    11,65

11,59    14,23

10,19    15,41

11,05    7,77

9,49     11,41

14,55    11,15

№ 24

8,67        8,3

8,94     8,48

8,59     8,49

8,48     8,75

8,34     8,86
8,43        8,1

8,27     8,46

8,78     8,44

10,95 9,01 7,72 9,79 8,4 9,97 11,13 10,27

13,23 12,03 15,07 12,13 12,22 12,94 13,9 11,87

13,89 11,49 17,57 11,69 11,87 13,31 15,23 11,17

8,71 8,47 9,08 8,49 8,51 8,65 8,85 8,44

Протоколы результатов измерений

39

№ 25

№ 28

№ 26

№ 29

№ 27

№ 30

40

Протоколы результатов измерений

Варианты контрольных работ

(Вариант выдается ПРЕПОДАВАТЕЛЕМ !)

41