Сопротивление материалов по направлению подготовки 270800.62 «Строительство»

Есть готовая для шифра (вариант) 265

Министерство образования и науки Российской Федерации

Бузулукский гуманитарно-технологический институт (филиал)

федерального бюджетного государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Факультет заочного обучения

Кафедра общей инженерии

О.С. Манакова

 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Методические указания

к выполнению контрольной работы

Бузулук 2014

 

Манакова О.С.

 Сопротивление материалов: методические указания по выполнению контрольной работы / О.С. Манакова; БГТИ (филиал) ОГУ – Бузулук: 2014.

 

 

Методические указания по сопротивлению материалов написано в соответствии с государственным образовательным стандартом. Приведены основные методы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Предназначено для студентов заочной формы, обучающихся по направлению подготовки 270800.62 «Строительство» (направление «Промышленное и гражданское строительство»)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

©Манакова О.С., 2014

© БГТИ (филиал) ОГУ,2014

 

 

 

Правила оформления и выполнения контрольных работ

 

По дисциплине «Сопротивление материалов» для студентов заочной формы обучения для направления подготовки 270800.62 «Строительство» (направление «Промышленное и гражданское строительство») учебным планом предусмотрено выполнение двух контрольных работ, содержание которых изложено в данном пособии. Каждая контрольная работа состоит из набора задач, план выполнения которых прилагается. Правила оформления и выполнения контрольных работ следующие.

Каждому студенту преподавателем назначается индивидуальный трехзначный номер варианта, согласно которому тот выбирает исходные данные для своих контрольных заданий.

Во всех задачах Контрольной работы №1 (КР №1) первая цифра варианта в приведенных таблицах исходных данных означает номер схемы конструкции, вторая – номер строки значений линейных размеров, а третья – номер строки значений нагрузок. Таблица с пронумерованными расчетными схемами приводится отдельно. Для выбранных таким образом нагруженных расчетных схем необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов.

Задачи Контрольной работы №2 являются приходящими, т.е. являются как бы продолжением задач КР №1, поэтому студент использует в них свои же расчетные схемы с уже построенными эпюрами внутренних силовых факторов из КР №1 и рассчитывает их на прочность и жесткость. Таким образом, первая цифра варианта в задачах КР №2 означает номер схемы из соответствующей задачи КР №1, вторая и третья цифры варианта используются для выбора материала конструкции, его прочностных данных и некоторых коэффициентов пропорциональности, используемых в данной задаче. Все эти параметры также выбираются из приведенной таблицы исходных данных.

Контрольная работа оформляется на листах формата А4. Для каждой задачи указывается её номер, название темы, изображается расчетная схема конструкции в масштабе исходных данных по своему варианту. Значения линейных размеров и значения приложенных нагрузок указываются на самой расчетной схеме. Остальные данные варианта (если они есть) приводятся правее схемы. Решение каждой задачи рекомендуется производить согласно приведенному алгоритму по мере изучения соответствующего материала дисциплины.

 

Задача 1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов при растяжении-сжатии стержней

 

План решения

1. Вычертить в масштабе расчетную схему ступенчатого стержня с указанием числовых значений нагрузок и линейных размеров (исходные данные в табл. 1.1.1).
2. Разделить базу эпюры на участки соответственно условиям нагружения стержня.
3. Вычислить значения продольной силы в характерных сечениях каждого участка стержня.
4. Используя основные закономерности при построении эпюры продольной силы и значения в характерных сечениях каждого участка вычертить в масштабе эпюру продольной силы.
5. Определить по эпюре наиболее нагруженный участок или сечение стержня.

 

Таблица 1.1.1. Исходные данные вариантов

1. Варианты схем	2. Варианты линейных размеров						3. Варианты нагрузок
№ вар.	№ вар.	, м	, м	, м	, м	, м	№ вар.	, кН	, кН	, кН	, кН	, кН/м
0	0	0,8	1,5	1,2	0,5	1,4	0	10	20	30	40	30
1	1	0,9	1,4	1,2	0,8	1,3	1	20	10	30	40	20
2	2	0,9	1,2	1,4	0,4	1,5	2	20	30	40	10	20
3	3	0,8	1,6	1,1	0,7	1,5	3	20	30	10	40	40
4	4	1,0	1,4	1,1	0,8	1,3	4	30	20	40	10	30
5	5	0,7	1,9	0,9	0,3	1,7	5	40	20	30	10	40
6	6	1,0	1,8	0,7	0,9	1,4	6	30	40	20	10	20
7	7	0,7	2,0	0,8	0,5	1,8	7	40	20	10	30	30
8	8	1,1	1,4	1,0	0,8	1,3	8	30	40	10	20	30
9	9	1,4	1,2	0,9	0,7	1,6	9	40	10	20	30	20

 

 

 

Таблица 1.1.2. Расчетные схемы стержней

Вариант 0	Вариант 1
Вариант 2	Вариант 3
Вариант 4	Вариант 5

 

 

 

Вариант 6	Вариант 7
Вариант 8	Вариант 9

 

 

 

Задача 1.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов при кручении валов

 

План решения

1. Вычертить в масштабе расчетную схему вала с указанием числовых значений нагрузок и линейных размеров (исходные данные в табл. 1.2.1).
2. Из условия равновесия вала определить неизвестный момент .
3. Разделить базу эпюры крутящего момента на участки, соответственно условиям нагружения.
4. Вычислить значения крутящего момента в характерных сечениях каждого участка вала;
5. Используя основные закономерности при построении эпюры крутящего момента и значения в характерных сечениях вычертить в масштабе эпюру крутящего момента ;
6. Определить по эпюре наиболее нагруженный участок или сечение вала.

 

Таблица 1.2.1. Исходные данные вариантов

1. Варианты схем	2. Варианты линейных размеров				3. Варианты нагрузок
№ вар.	№ вар.	a1, м	a2, м	a3, м	№ вар.	M1, кН∙м	M2, кН∙м	M3, кН∙м	m, кН∙м/м
0	0	0,5	0,3	0,2	0	1,0	2,6	3,0	5,0
1	1	0,4	0,3	0,1	1	1,6	2,0	2,0	8,0
2	2	0,6	0,5	0,4	2	2,0	1,8	1,5	10,0
3	3	0,5	0,4	0,3	3	1,8	1,5	2,2	6,0
4	4	0,6	0,4	0,2	4	1,5	2,2	2,8	8,0
5	5	0,7	0,3	0,2	5	2,2	2,8	3,0	10,0
6	6	0,4	0,3	0,2	6	3,0	1,2	2,5	5,0
7	7	0,7	0,5	0,3	7	2,8	3,0	1,6	7,0
8	8	0,8	0,3	0,1	8	2,0	2,5	1,8	9,0
9	9	0,8	0,5	0,2	9	2,6	1,6	2,0	10,0

 

 

 

Таблица 1.2.2. Расчетные схемы валов

 

Вариант 0

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

 

 

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

 

 

 

Вариант 8

Вариант 9

 

 

Задача 1.3. Построение эпюр внутренних силовых факторов при изгибе балок и рам

Для двух статически определимых балок, работающих в условиях плоского изгиба: схема №1 – балка с жестким защемлением, схема №2 – балка на двух опорах, построить эпюры внутренних силовых факторов.

Исходные данные – в таблице 1.3.

План решения

Для каждой конструкции:

1. Вычертить в масштабе расчетную схему с указанием числовых значений нагрузок и линейных размеров.
2. Определить реакции всех опор (для двухопорной балки).
3. Разделить базу каждой эпюры на участки соответственно условиям нагружения.
4. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента, предварительно вычислив их значения в характерных сечениях каждого участка и используя основные закономерности при построении эпюр поперечной силы и изгибающего момента.

Таблица 1.3.1. Исходные данные вариантов

 

1. Вари-анты схем	2. Варианты линейных размеров							3. Варианты нагрузок
№ вар.	№ вар.	a1, м	a2, м	a3, м	a4, м	a5, м	ℓ, м	№ вар.	q, кН/м	F, кН	M, кНм
0	0	1,5	2,0	0,6	2,0	1,9	0,5	0	15	20	30
1	1	2,0	1,8	0,7	2,2	1,6	0,4	1	10	30	40
2	2	1,2	1,6	1,0	2,4	2,6	0,6	2	10	40	35
3	3	1,8	1,4	0,8	2,5	2,0	1,0	3	20	50	25
4	4	1,4	1,2	0,5	2,3	2,4	0,3	4	15	25	30
5	5	1,7	1,9	0,7	2,1	1,6	1,0	5	20	20	35
6	6	1,6	1,7	0,9	2,0	1,8	0,4	6	10	35	40
7	7	1,9	1,5	0,6	1,8	1,8	0,6	7	15	45	50
8	8	1,3	1,3	0,8	2,0	2,6	0,8	8	15	40	45
9	9	2,0	1,2	0,6	1,8	2,4	0,5	9	10	60	30

 

 

 

Таблица 1.3.2. Расчетные схемы балок и рам

 

Вариант 0

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

 

 

 

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

 

 

 

Вариант 9

 

 

 

Тема 1. Построение эпюр внутренних силовых факторов (пример выполнения контрольной работы)

Цель занятия:

Научиться строить эпюры внутренних силовых факторов при простых видах деформации: растяжении-сжатии, кручении и прямом изгибе.

Необходимые знания для достижения цели:

• Алгоритм метода сечений – метода построения эпюр внутренних силовых факторов.
• Правило знаков для продольной силы N, крутящего момента M_z, поперечной силы Q_y и изгибающего момента M_x.
• Основные закономерности при построении эпюр N, M_z, Q_y и M_x.

1. Построение эпюры продольной силы N

1.1. Теоретический материал.

Технология построения эпюр внутренней продольной силы

Что такое внутренняя продольная сила?

Это внутренний силовой фактор, возникающий в сечениях элемента конструкции, нагруженного внешними силами, производящими деформацию растяжения или сжатия.

Зачем нужно уметь строить эпюры внутренней продольной силы?

Это необходимо для определения положения опасного сечения элемента конструкции, т.е. для определения величины максимального напряжения и получения условия прочности, выполнение которого позволит обеспечить прочностную надежность конструкции при ее эксплуатации.

Чтобы научиться строить эпюры внутренней продольной силы надо знать!

• Метод сечений и вытекающие из него закономерности для построения эпюры N:
• Внешняя сосредоточенная сила на эпюре N дает скачок на величину силы в сторону знака ее воздействия.
• Если участок ничем не загружен (отсутствует распределенная по длине нагрузка), то на соответствующем участке эпюры должна быть прямая параллельная базе.
• Если участок загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, то на соответствующем участке эпюры должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом равным q.
• Правило знаков для продольной силы N
• Продольная сила считается положительной, если вызывающая её внешняя сила относительно рассматриваемого сечения растягивает стержень:
• Продольная сила считается отрицательной, если вызывающая её внешняя сила относительно рассматриваемого сечения сжимает стержень:
• Знак продольной силы имеет физическое значение в связи с тем, что некоторые материалы по-разному сопротивляются деформации растяжения и деформации сжатия.

Алгоритм построения эпюры продольной силы

• для построения эпюры провести базу – линию, параллельную продольной оси стержня, равной длине стержня;

• разделить базу эпюры на участки, соответственно участкам стержня;

• участком является часть длины стержня между точками приложения сосредоточенных сил или началом и концом действия распределенной нагрузки;
• для консольного типа стержней (один конец свободный, другой в жесткой заделке) выбрать направление построения эпюры от свободного конца к заделке, т.е. с участка со свободным концом;
• определить состояние в начале участка: если есть сосредоточенная сила, производящая деформацию растяжения отложить ординату на эпюре, равную величине силы со знаком +. Со знаком — , если сила производит деформацию сжатия. При отсутствии силы построение эпюры начинаем с нуля;
• определить состояние внутри участка: если участок пустой, провести прямую, параллельную базе, высотой равной отложенной ординате в начале участка, если участок загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, проводим наклонную прямую с угловым коэффициентом = q. Для определения величины продольной силы в конце участка, прибавляем к значению ординаты в начале участка с учетом ее знака произведение q·ℓ в случае растягивающей распределенной нагрузки.
• И наоборот, вычитаем от значения ординаты в начале участка произведение q·ℓ в случае сжимающей распределенной нагрузки. Здесь ℓ- длина участка.
• И т.д. по каждому участку.

1.2. Пример построения эпюры N

Задача

Для данного стержня построить эпюру продольной силы

Решение

 

Стержень имеет четыре участка:

• между точками приложения F₁ и F₂;
• между точкой приложения F₂ и концом действия равномерно распределенной нагрузки;
• между концом действия равномерно распределенной нагрузки точкой приложения F₃;
• между точкой приложения F₃ и заделкой.

Проведем параллельно продольной оси стержня базу эпюры (ось, относительно которой будем откладывать ординаты (значения) внутренней продольной силы). Разделим базу на участки, соответственно участкам стержня, проводя из граничных точек участков стержня прямые ┴ базе до пересечения с базой. Направление построения эпюры примем от свободного конца к заделке, не определяя реактивных сил в заделке

Построение эпюры начинаем с крайнего правого участка, делая скачок от базы на величину 10 кН = силе F₁ в положительную сторону т.к. F₁ растягивает. В связи с тем, что первый участок ничем не загружен по длине, проводим прямую линию, параллельную базе со значением 10 кН до конца первого участка.

В начале второго участка делаем скачок на величину силы F₂ =60 кН вниз, т.к. сила F₂ сжимающая. Получаем на эпюре значение -50 кН, которое откладываем ниже базы эпюры. В связи с загрузкой второго участка по длине растягивающей равномерно распределенной нагрузкой q=40 кН/м вычисляем значение продольной силы в конце второго участка следующим образом: к значению ординаты в начале участка -50 кН прибавляем произведение q=40 кН/м на длину участка 2а=2м. Получаем следующее значение продольной силы N=-50+40·2=30кН, которое откладываем выше базы в конце второго участка и наклонной прямой соединяем ординаты -50 и +30.

В начале третьего участка отсутствует сосредоточенная сила, поэтому ордината 30 кН не изменяется. А т.к. третий участок ничем не загружен, то по всей его длине проводим прямую линию, параллельную базе до конца третьего участка.

В начале четвертого участка на эпюре откладываем скачок вниз величиной 40 кН от действия сжимающей сосредоточенной силы F₃ и получаем ординату -10 кН. Затем величиной полученной ординаты проводим до конца участка прямую, параллельную базе.

Внутри эпюры ставим знаки и делаем штриховку перпендикулярную базе эпюры. Почему перпендикулярно базе ? Потому, что каждая штриховая линия определяет значение внутренней силы в соответствующем сечении.

 

Эпюра построена

2. Построение эпюры внутреннего крутящего момента М_z

2.1. Теоретический материал

Технология построения эпюры внутреннего крутящего момента

Что такое внутренний крутящий момент?

Это внутренний силовой фактор, возникающий в сечениях элемента конструкции, нагруженного внешними парами сил, воздействующими относительно продольной оси и производящими деформацию кручения.

Зачем нужно уметь строить эпюры внутреннего крутящего момента?

Это необходимо для определения положения опасного сечения элемента конструкции, т.е. для определения величины максимального напряжения и получения условия прочности, выполнение которого позволит обеспечить прочностную надежность конструкции при ее эксплуатации.

Чтобы научиться строить эпюры внутреннего крутящего момента надо знать!

• Метод сечений и вытекающие из него закономерности для построения эпюры М_z:

• Внешняя сосредоточенная пара сил на эпюре М_z дает скачок на величину пары сил в сторону знака ее воздействия.
• Если участок ничем не загружен (отсутствует распределенный по длине момент), то на соответствующем участке эпюры М_z должна быть прямая параллельная базе.
• Если участок загружен равномерно распределенным моментом интенсивностью m, то на соответствующем участке эпюры должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом равным m.
• Правило знаков для внутреннего крутящего момента:

Что мы видим на графической иллюстрации правила знаков?

• Прежде, чем определять направление вращения внешнего момента, от которого назначается знак внутреннего, Вы должны мысленно сделать сечение в пределах участка, на котором хотите определить М_z, оставить любую из полученных частей вала и посмотреть в торец сделанному сечению.
• Поворачивая внешний момент, определите его направление и назначьте знак внутреннему моменту. Например, как это сделано на иллюстрации. Если внешний момент поворачивается против часовой стрелки, то внутренний момент принимается положительным. И наоборот.

Т.к. знак внутреннего момента не имеет физического значения, Вы имеете возможность правило знаков назначать произвольно. Т.е. не будет ошибки, если Вы назначите знак плюс внутреннему моменту, возникающему от внешнего момента, вращающегося по часовой стрелке. Важным в правиле знаков является лишь то, что при определении направления вращения внешнего момента, Вы обязательно должны смотреть со стороны сделанного сечения! Знак внутри эпюры крутящего момента не ставится.

Алгоритм построения эпюры М_z

• для построения эпюры провести базу – линию, параллельную продольной оси стержня, равной длине вала;
• разделить базу на участки соответственно участкам вала.
• участок — часть длины вала между точками приложения сосредоточенных пар сил или между началом и концом действия распределенного момента;
• для консольного типа валов (один конец свободный, другой в жесткой заделке) выбрать направление построения эпюры от свободного конца к заделке, т.е. с участка со свободным концом;
• определить состояние в начале участка: если есть сосредоточенная пара сила, отложить ординату на эпюре, равную величине пары сил выше или ниже базы эпюры, согласно правилу знаков. При отсутствии пары сил построение эпюры начинаем с нуля.
• определить состояние внутри участка: если участок пустой, провести прямую, параллельную базе, высотой равной отложенной ординате в начале участка. Если участок загружен равномерно распределенным моментом интенсивностью m, проводим наклонную прямую с угловым коэффициентом = m. Для определения величины внутреннего крутящего момента в конце участка, увеличиваем ординату в начале участка с учетом ее знака на величину произведения m ℓ в случае, если направление распределенного момента совпадает с направлением сосредоточенного. И наоборот, уменьшаем значение ординаты в начале участка на величину произведения mℓ в случае несовпадения направления распределенного момента с направлением сосредоточенного в начале участка.
• И т.д. по каждому участку.

.2.2. Пример решения задачи.

Задача.

Для данного вала построить эпюру внутреннего крутящего момента

РЕШЕНИЕ:

Сначала проведем краткий анализ данной расчетной схемы и определим количество участков, на которые надо разделить вал:

• Вал нагружен системой самоуравновешенных моментов. В этом можно убедиться, если алгебраически сложить все моменты, учитывая их разные направления. Одного направления на схеме моменты М₁, М₂ и М₃. Их сумма составляет 40 кНм. Равномерно распределенный момент интенсивностью m=20 кНм/м занимает длину 2 метра и даст равнодействующий момент равный произведению интенсивности на длину действия, т.е. и имеет противоположное направление. Таким образом, сумма всех моментов будет равна нулю. Это означает, что реактивные моменты в крайних опорах будут отсутствовать и крайние левый и правый участки от опор до моментов М₁ и М₃ соответственно не будут испытывать внешнего воздействия, а значит в их поперечных сечениях не будет возникать внутренний крутящий момент.
• В результате вал можно разделить на два участка:
  • участок (1-2) между точками приложения сосредоточенных моментов М₁ и М_2;
  • участок (2-3) между точками приложения моментов М₂ и М₃.
• Под расчетной схемой параллельно продольной оси проведем базу эпюры в границах длины вала.
• От точек приложения сосредоточенных моментов М₁, М₂ и М₃ проведем прямые перпендикулярные продольной оси до пересечения с базой, таким образом поделив базу эпюры на участки.
• Эпюру крутящего момента будем строить только в пределах двух средних участков в силу указанных выше причин, применяя выявленные закономерности для эпюры крутящего момента.
• Начнем с участка (1-2), приняв направление построения эпюры на участке слева направо. На левой границе находится сосредоточенный момент М₁ =10 кНм. На его величину откладываем скачок от базы вверх, выбрав предварительно масштаб. Т.к. участок пустой проводим прямую линию параллельную базе от отложенной ординаты до правой границы участка.
• На участке (2-3) выберем направление построения эпюры также слева направо. На левой границе участка находится сосредоточенный момент М₂ того же направления, что и момент М₁. Поэтому откладываем скачок от ординаты 10 кНм по линии действия М₂ вверх на величину 20 кНм. Получим значение внутреннего момента 30 кНм от базы эпюры. Т.к. участок (2-3) загружен равномерно распределенным моментом, далее мы должны провести наклонную прямую. Направление распределенного момента противоположно моментам М₁ и М₂ поэтому наклонная прямая пойдет вниз от ординаты 30 кНм на величину равнодействующего момента т.е. . На правой границе участка (2-3) мы получим значение 10 кНм ниже базы. Сосредоточенный момент М₃, находящийся на правой границе участка (2-3), приведет к изменению внутреннего момента (скачку) на 10 кНм вверх, т.к. его направление противоположно направлению распределенного момента. Таким образом, на крайнем правом участке вала внутренний крутящий момент, как мы говорили уже выше, отсутствует.

 

Эпюра построена

 

3 Построение эпюры внутренней поперечной силы и изгибающего момента при прямом изгибе балок.

3.1. Теоретический материал.

Технология построения эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

Что такое внутренняя поперечная сила и изгибающий момент?

Поперечная сила-это внутренняя сила, возникающая в поперечном сечении элемента конструкции в ответ на действие внешних сил, дающих проекцию на одну из осей поперечного сечения.

Изгибающий момент-это внутренний момент, возникающий в поперечном сечении элемента конструкции в ответ на действие моментов от внешних сил относительно одной из осей поперечного сечения. Например:

В приведенном примере мы видим, что внешняя сила F дает проекцию на ось у поперечного сечения балки и в ответ возникает поперечная сила Q_y. Кроме этого сила F создает момент с плечом z относительно оси х, который должен быть уравновешен внутренним моментом М_х.

Зачем нужно уметь строить эпюры Q_y и М_х?

Это необходимо для определения положения опасного сечения и дальнейшей оценки прочности и жесткости конструкции.

Чтобы научиться строить эпюры внутренней поперечной силы и изгибающего момента надо знать!

• Метод сечений и следующие основные закономерности для построения эпюр Q_y и М_х, основанные на этом методе:
  • От действия внешней сосредоточенной силы на эпюре Q_y должен быть скачок на величину силы, в сторону знака ее воздействия, на эпюре М_х – перелом, острие которого направлено навстречу действию силы.
  • От действия сосредоточенного внешнего момента на эпюре Q_y не происходит изменений (она на него не реагирует), на эпюре М_х должен быть скачок на величину момента в сторону знака его воздействия.
  • Если участок пустой, то на эпюре Q_y будет прямая параллельная базе, на эпюре М_х прямолинейная зависимость с угловым коэффициентом равным Q_y этого участка.
  • Если участок загружен равномерно распределенной нагрузкой, то на эпюре Q_y будет наклонная прямая с угловым коэффициентом равным интенсивности нагрузки q, на эпюре М_х квадратичная парабола с квадратичным слагаемым . Выпуклость параболы направлена навстречу действию нагрузки.
  • Если наклонная прямая на эпюре Q_y пересекает базу, то в соответствующем сечении на эпюре М_х будет экстремум, определение которого обязательно!
  • Правильность построенных эпюр можно проконтролировать, используя существующую дифференциальную зависимость между Q_y и М_х: . Анализ по участкам эпюр надо проводить в строгом направлении слева направо. Если поперечная сила Q_y на участке положительна, то функция момента М_х должна быть возрастающей и наоборот, если Q_y отрицательна, то функция М_х должна быть убывающей.
• Правило знаков для попеченной силы и изгибающего момента.

Правило знаков для поперечной силы Q_y

Поперечная сила считается положительной, если вызывающая её внешняя сила поворачивается относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке и наоборот. Внутри эпюры Q_y ставится знак «+» или «-».

Правило знаков для изгибающего момента М_х

Ординаты на эпюре изгибающего момента откладываются в сторону сжатых волокон и знак внутри эпюры не ставится.

 

Например:

Алгоритм построения эпюр Q_y и М_х

экспресс методом по характерным сечениям

• Обозначить характерные сечения на расчетной схеме.

Для этого надо знать: Характерное сечение – это сечение на расчетной схеме, где находится сосредоточенная сила, начало и конец действия равномерно распределенной нагрузки, сосредоточенный момент (только для эпюры изгибающего момента).

• Определить количество образовавшихся участков.

Для этого надо знать: Участок – это часть длины на расчетной схеме между характерными сечениями.

• Начинать построение эпюры Q_y и М_х следует с любого крайнего участка. Сначала проанализировать состояние в начальной точке (делать скачок или нет в зависимости от наличия сосредоточенной силы для Q_y или сосредоточенного момента для М_х). А затем анализировать состояние на участке для определения типа функции Q_y и М_х в зависимости от загруженности участка по длине.

Для выполнения этого пункта необходимо использовать основные закономерности при построении эпюр Q_y и М_х.

• Для определения значения Q_y в конце участка, загруженного равномерно распределенной нагрузкой, следует изменить значение Q_y в начале участка на величину, равную произведению интенсивности нагрузки q на длину участка. В случае незагруженного участка значение Q_y в конце будет таким же, как в начале участка.
• Для определения значения М_х в конце участка следует рассмотреть часть балки (или рамы) до точки конца участка со стороны движения по участку. Определить величины моментов от всех нагрузок, находящихся на рассматриваемой части балки, относительно данной точки и сложить их алгебраически, применяя правило знаков.
• При переходе от участка к участку необходимо четко соблюдать направление построения эпюр, т.е. движения по участку и повторять действия п. 3.
• После завершения построения эпюр Q_y и М_х провести проверку правильности полученного решения:

• Убедиться в наличии скачков на эпюре Q_y в сечениях, где есть сосредоточенные силы; на М_х — в сечениях, где есть сосредоточенные моменты.
• Убедиться в правильности типов функций Q_y и М_х по участкам и соотношения выпуклости параболы с направлением равномерно распределенной нагрузки.
• Убедиться в правильной взаимосвязи функций Q_y и М_х по участкам согласно соотношению , т.е. слева направо в пределах каждого участка при Q_y>0 М_х­, при Q_y<0 М_х¯. Если эпюра Q_y пересекает базу, в соответствующей точке на эпюре М_х должен быть экстремум, величину которого необходимо обязательно определить.
  • Пример решения задачи

Задача.

Для данной балки построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

РЕШЕНИЕ

Т.к. балка крепится на двух шарнирных опорах, то до начала построения эпюр необходимо определить реакции в опорах. Обозначим буквами опоры: шарнирно неподвижную «А», шарнирно подвижную «В». Для определения реакции в опоре «А» составим уравнение суммы моментов относительно точки опоры В: .

Используем правило знаков моментов, принятое в Теоретической механике (раздел «Статика»): момент против часовой стрелки принимаем положительным и наоборот. В результате получим: . Подставив численное значение всех входящих величин, выразим из уравнения . Для определения реакции в опоре «В» составим уравнение суммы моментов относительно точки опоры А: , расписывая левую часть уравнения получим: , откуда . Для проверки правильности определенных реакции составим уравнение суммы проекций сил на вертикальную ось: или . Подставив численное значение сил, получим: , т.е. реакции найдены верно и можно приступать к построению эпюр.

Разделим балку на участки слева направо:

• участок от начала действия распределенной нагрузки до точки опоры «А»;
• участок от точки опоры «А» до конца действия распределенной нагрузки;
• участок от конца распределенной нагрузки до точки приложения силы F;
• участок от точки приложения силы F до конца балки.

Построение эпюры Q_y:

Проведем под расчетной схемой базу для эпюры Q_y и разделим ее на участки, соответствующие участкам балки.

1-ый участок

Левая граница участка: отсутствует сосредоточенная сила, поэтому на эпюре Q_y будет ноль.

Состояние по длине участка: весь участок загружен распределенной нагрузкой, поэтому на эпюре будет наклонная прямая с угловым коэффициентом равным q=20кН/м.

Правая граница участка: определим значение поперечной силы, умножив q на длину участка а, получим 20кН. Отложим это значение вниз от базы, т.е. со знаком «-» т.к. поворот вектора q относительно правой границы первого участка происходит против часовой стрелки. Соединим ординаты на левой и правой границе участка наклонной прямой.

2-ой участок

Левая граница участка: здесь находится сосредоточенная сила R_A, на величину которой надо сделать скачок в положительную сторону согласно правилу знаков. От ординаты равной -20 кН надо вверх отложить величину 40 кН. От базы эпюры сверху получится ордината = 20 кН.

Состояние по длине участка: весь второй участок также загружен распределенной нагрузкой, поэтому на эпюре должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом равным q=20кН/м.

Правая граница участка: определим значение Q_y, алгебраически складывая величину Q_y на левой границе и величину равнодействующей распределенной нагрузки на 2-ом участке: . Соединим ординаты на левой 20кН и правой границе 20 кН наклонной прямой.

3-ий участок

Левая граница участка: на левой границе находится сосредоточенный момент, на который поперечная сила не реагирует, т.е. значение -20 кН не изменится.

Состояние по длине участка: участок пустой, поэтому на эпюре будет прямая параллельная ординатой -20кН.

Правая граница участка: ордината равная -20кН – конец прямой параллельной базе.

4-ый участок

Левая граница участка: находится сосредоточенная сила F=80 кН, которая вызовет на эпюре скачок на эту величину вверх. Почему вверх? Потому, что сила F по ходу построения эпюры (слева направо) поворачивается по часовой стрелке. В результате в начале четвертого участка ордината поперечной силы будет равна 60 кН.

Состояние по длине участка: участок ничем не загружен, поэтому на эпюре должна быть прямая параллельная базе.

Правая граница участка: здесь находится сосредоточенная сила R_B, которая вызовет скачок на эпюре вниз на 60 кН.

 

Построение эпюры М_х

Эпюра М_х строится под эпюрой Q_y. База эпюры предварительно делится на участки, соответствующие участкам балки.

1-ый участок:

Левая граница участка: отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому на эпюре М_х будет ноль.

Состояние по длине участка: наличие равномерно распределенной нагрузки на эпюре М_х дает параболу, выпуклость которой направлена вверх (навстречу нагрузке). Парабола будет без экстремума, поскольку наклонная прямая на соответствующем участке Q_y не пересекает базу. Строится по двум точкам, значениям момента на левой и правой границе участка.

Правая граница участка: сделаем сечение по правой границе первого участка и оставим для определения момента в сечении «отрезанный» первый участок, загруженный только распределенной нагрузкой. Момент от нее и определит величину внутреннего момента. Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей равной qa=20∙1=20 кН, мысленно поместим ее в точку центра тяжести площади, которую она занимает (это точка пересечения диагоналей прямоугольника), поэтому вектор равнодействующей будет проходить через середину длины участка. Тогда плечо у равнодействующей будет равно 0,5 метра, а момент в конце первого участка определится величиной равной , откладываем это значение в конце участка вниз, т.к. от действия распределенной нагрузки на отсеченную часть балки сжаты нижние волокна.

2-ой участок

Левая граница участка: отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому на эпюре М_х значение 10 кНм не изменится.

Состояние по длине участка: наличие равномерно распределенной нагрузки даст на эпюре М_х снова параболу выпуклостью вверх с экстремумом посередине участка, поскольку на соответствующем участке эпюры поперечной силы наклонная прямая пересекает базу в этом месте. Для определения экстремума сделаем сечение ровно посередине второго участка. Оставляя левую часть балки относительно сделанного сечения, на которой есть распределенная нагрузка и реакция R_A, определим момент М_х:

Правая граница участка: Т.к. парабола симметричная кривая, то очевидно, что в конце участка значение на эпюре момента должно быть такое же, как в начале (10 кНм на нижних волокнах). По трем точкам: -10кНм, 0, -10кНм строим параболу.

3-ий участок

Левая граница участка: есть сосредоточенный внешний момент равный 30 кНм, поэтому на эпюре М_х сделаем скачок вниз на величину момента. Почему вниз. Потому, что воздействуя моментом на балку слева, мы изгибаем ее так, что будут сжаты нижние волокна. Величина ординаты стала — 40 кНм.

Состояние по длине участка: пустой, ничем не загружен. На эпюре М_х должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом равным Q_y этого участка, т.е. -20 кН. Построим прямую по двум точкам. Для этого определим значение момента на правой границе.

Правая граница участка: сделаем сечение по правой границе участка, оставим для определения момента правую часть балки относительно сделанного сечения, на которой есть только сила R_B. Определим момент в сечении, как:

Почему -60 кНм. Потому, что воздействуя на балку справа, силой R_B, мы изгибаем ее так, что будут сжаты нижние волокна. По полученным точкам на левой и правой границах участка соответственно -40 кНм и -60кНм строим наклонную прямую.

4-ый участок

Левая граница участка: отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому на эпюре М_х значение -60 кНм не изменится.

Состояние по длине участка: пустой, ничем не загружен. На эпюре М_х должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом равным Q_y этого участка, т.е. 60 кН. Построим прямую по двум точкам. Для этого определим значение момента на правой границе.

Правая граница участка: находится в шарнирной опоре В, на которой отсутствует внешний момент. Такой шарнир называется свободным и в соответствующем сечении на эпюре М_х должен быть 0. По двум значениям момента на левой и правой границах участка (-60 кНм и 0) строим наклонную прямую.

Проверка правильности построенных эпюр по дифференциальной зависимости

Анализ эпюр проводим слева направо:

1-ый участок:

2-ой участок: на первой половине в точке пересечения , на второй половине

3-ий участок:

4-ый участок:

Эпюры построены

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы к экзамену

 

• 1 Значение дисциплины «Сопротивление материалов» в инженерном образовании.
• 2 Основные задачи дисциплины «Сопротивление материалов».
• 3 Допущения, принимаемые для вывода формулы нормальных напряжений при изгибе.
• 4 Распределение нормальных напряжений по поперечному сечению балки при изгибе.
• 5 Классификация внешних сил и элементов конструкций.
• 6 Условие прочности при изгибе.
• 7 Допущения относительно свойств материалов и характера деформаций.
• 8 Диаграмма растяжения.
• 9 Основные виды деформаций тела.
• 10 Изгиб. Основные понятия и определения.
• 11 Поперечная сила и изгибающий момент.
• 12 Метод сечений.
• 13 Внутренние силовые факторы.
• 14 Дифференциальные зависимости между поперечной силой, изгибающим моментом и интенсивностью распределённой нагрузки.
• 15 Условие прочности при растяжении (сжатии).
• 16 Кручение брусьев тонкостенного профиля.
• 17 Косой изгиб. Расчеты на прочность.
• 18 Изгиб с кручением. Расчеты на прочность.
• 19 Теории прочности.
• 20 Геометрические характеристики плоских сечений.
• 21 Правило Верещагина.
• 22 Виды напряженного состояния тела.
• 23 Деформация и перемещение при упругом растяжении (сжатии).
• 24 Закон парности касательных напряжений.
• 25 Расчет на прочность с учетом сил инерции.
• 26 Расчет цилиндрических винтовых пружин.
• 27 Механические свойства материалов и их характеристики.
• 28 Расчеты на прочность при ударе.
• 29 Напряжение и деформация при чистом сдвиге.
• 30 Работа внешних сил и потенциальная энергия деформации при растяжении (сжатии).
• 31 Понятие об устойчивости. Формы равновесия упругих тел.
• 32 Потенциальная энергия деформации при изгибе.
• 33 Расчет элементов конструкций по предельному состоянию.
• 34 Условие прочности при косом изгибе.
• 35 Расчет по предельным нагрузкам при кручении и изгибе.
• 36 Практические расчеты на прочность при срезе.
• 37 Статически неопределенные системы при кручении.
• 38 Деформация и перемещение. Закон Гука.
• 39 Формула Журавского.
• 40 Условие прочности и жесткости при кручении.
• 41 Напряженное состояние в точке бруса при растяжении (сжатии).
• 42 Дифференциальное уравнение упругой линии балки.
• 43 Гипотеза Бернулли. Принцип Сен-Венана.
• 44 Определение перемещений методом Мора.
• 45 Деформированное состояние. Обобщенный закон Гука.
• 46 Статически неопределимые балки при изгибе.
• 47 Пределы применимости формулы Эйлера.
• 48 Моменты инерции плоских сечений.
• 49 Главные напряжения.
• 50 Критическая сила. Формула Эйлера.
• 51 Критическое напряжение. Формула Ясинского.
• 52 Закон Гука при сдвиге.
• 53 Срез и смятие. Расчеты на прочность.
• 54 Кручение брусьев прямоугольного поперечного сечения.
• 55 Внецентренное растяжение — сжатие. Условие прочности.
• 56 Теория кручения брусьев круглого поперечного сечения.
• 57 Перемещения при изгибе. Расчеты на жесткость.
• 58 Теория прочности
• 59 Косой изгиб. Расчеты на прочность
• 60 Внецентренное растяжение, сжатие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список рекомендуемых источников

1 Г.М.Ицкович. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 2004.

2 В.И.Феодосьев. Сопротивление материалов. М.: Наука,2000.

3 Сборник задач по сопротивлению материалов. Под ред А.С.Вольмира. М.:Наука.2000.

4 Сборник задач по сопротивлению материалов. Под ред. А.А.Уманского М.: Наука, 2003.

5 Р.С.Кинасошвили. Краткий учебник Под ред. А.С.Вольмира. М.: Наука. 2002.

6 Растяжение и кручение. Краткий курс. Под ред. В.И.Феодосьева. М.: Высшая школа, 2002.

7 И.Н.Миролюбова и другие. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. Учеб. пособие для ВУЗов. 5-е издание. М.: Высшая школа, 2003.

8 А.И.Винокуров. Сборник задач по сопротивлению материалов. Учеб.пособие. М.: Высшая школа, 2000.

9 Д.М.Шапиро. и другие. Сборник задач по сопротивлению материалов. Учеб. Пособие. М.: Высшая школа, 2002.