Розрахунково-пояснювальна записка

до курсової роботи

з дисципліни

«теорія електричних і електронних кіл»

на тему

«Розрахунок перехідних процесів

у розгалужених RLC колах»

Варіант № 10

Виконала:

Прийняв:

ЗМІСТ

1. 1. Зміст.
2. 2. Завдання курсової роботи.
3. 3. Вступ.
4. 4. Розрахунок перехідного процесу класичним методом.
5. 5. Розрахунок перехідного процесу операторним методом.
6. 6. Розрахунок перехідного процесу методом змінних станів.
7. 7. Графічні залежності струмів в гілках або на елементах та напруги на гілках кола або на елементах після комутації.
8. 8. Висновок.
9. 9. Список використаної літератури.

ЗАВДАННЯ КУРСОВОЇ РОБОТИ

Провести аналіз перехідних процесів (визначити часові залежності струмів у гілках кіл і напруг на елементах та на гілках кіл) після комутації трьома методами:

— класичним методом;

— операторним методом;

— методом змінних станів.

Скласти графіки залежності від часу струмів у гілках і напруг на гілках або елементах.

Для розрахунків використати варіант № 10 з схемою електричного кола № 10 та такими параметрами кола:

R2

I R1 L

C

рис. 2.1

Параметри електричного кола, зображеного на рис. 2.1

 

R1	=	50	Ом
R2	=	50	Ом
L	=	0,1	Гн
С	=	53,33	мкФ
J	=	1,0	A

 

 

 

 

ВСТУП

В цій курсовій роботі розглядаються процеси, які відбуваються в динамічних колах. Динамічні електричні кола є інерційними системами, електрична енергія в яких не тільки розсіюється і перетворюється в інші види, а й запасається в електричному та магнітному поля. До цих кіл, крім резистивних елементів, входять ще й реактивні, які можуть як накопичувати електричну енергію так і віддавати її іншим елементам. Підвидом динамічного кола є коливальний контур.

Нас цікавлять процеси, які відбуваються в цих колах при комутаціях. Комутація – це цілеспрямоване підключення або відключення джерел сигналів (джерел живлення) чи інших елементів кола, раптова зміна параметрів елементів кола, закорочення елементів чи частин кола.

Початковий стан кола оцінюється запасами електричної енергії в магнітному та електричному полях у початковий стан часу. Цей стан називають початковими умовами.

За ненульових початкових умов процеси в динамічному колі при відключенні джерел сигналів не можуть миттєво припинитися. Коло перейде в новий стан рівноваги (кінцевий) тільки через деякий проміжок часу необхідний для розсіювання накопиченої енергії. Фізично певна кількість енергії не може перетворитися на інші види миттєво. Оскільки кому­тація в електричних колах відбувається практично миттєво, для миттєвої зміни енергії у реактивних елементах на кінцеву величину джерело енергії повинно було б мати нескінченну по­тужність. Реальні джерела енергії мають обмежену по­тужність. Тому для зміни енергії у реактивних елементах при переході від одного режиму до іншого необхідний певний час. Крім того, відбуваються процеси обміну між електричним і магнітним полем.

Подібні процеси здійснюються і при збудженні динамічних кіл сигналами. Починаючи з моменту комутації, відбуваються два види процесів:

— процеси зумовлені початковими запасами енергії полів;

— процеси зумовлені енергією сигналів.

З часом перші перестають впливати (внаслідок розсіювання енергії) порівняно з другими. Отже новий стан динамічного кола (кінцевий стан) відносно попереднього (початкового стану) встановлюється з деякою затримкою. Проміжний стан між початковим та кінцевим називається перехідним.

У режим перехідного стану сигнали змінюються за певним законом, який залежить від властивостей кола. Такі зміни називаються перехідними процесами.

Теоретично пе­рехідний процес триває від моменту його виникнення до нескінчен­ності, а практично, при заданій точності вимірів, протягом кінцевого інтервалу часу, що залежить від параметрів елементів електричного кола, тобто через певний проміжок часу миттєві значення сигналів у перехідному режимі мало відрізняються від тих значень, які відповідають постійному режимі.

Перехідні процеси становлять основу роботи багатьох пристроїв і в цьому розумінні є бажаними. Використання їх дає змогу формувати сигнали різної форми, які необхідні для конкретного практичного застосування. З іншого боку, вони спричинюють зниження швидкодії апаратури, вихід із ладу її елементів унаслідок істотного перевищення «перехідних» миттєвих значень порівняно з максимально допустимими. Саме через ці факти і виникла необхідність розраховувати перехідні процеси, щоб передбачити наслідки тих чи інших дій, а також для практичного застосування цих процесів.

Причиною перехідних процесів є невідповідність рівнів початкової та кінцевої енергії в електричних та магнітних полях при здійсненні комутації.

 

 

 

 

 

КЛАСИЧНИЙ МЕТОД

Визначаємо початкові умови до комутації кола, тобто до замикання ключа. З огляду на те, що при сталому режимі і при постійній напрузі опір індуктивності дорівнює нулю, а опір ємності – нескінченності, то:

iL(0) = iL(0-) = iL(0+) = 0 А	(4.1)
Uc(0) = Uc(0-) = Uc(0+) = 0 B	(4.2)

Складаємо схему кола після комутації:

U_L

і₂

L

і₁ і₁ = і_R1

I R₁ R₂ i₂ = i_R2 = i_L = i_C

U_R1 U_R2

C

U_C

рис. 4.1

Щоб знайти перехідні значення напруг і струмів в колі ми повинні вирішати диференціальне рівняння відносно обраної незалежної змінної. Так як в колі два незалежних накопичувачі енергії, то рішення диференціального рівняння матиме вигляд в загальному випадку:

Х = Хпр + Хсв

(4.3)

Далі розв’язуємо диференціальне рівняння для вільної складової Х_св, яка матиме свій загальний вигляд для кожного виду коренів.

Записуємо закони Кірхгофа для кола (використовуємо вузол та другий контур), зображеного на рис. 4.1

J=i1 + i2	(4.4)
UR1 = UR2 + UC + UL = 0	(4.5)

Поводимо перетворення виразів (4.4) і (4.5) використовуючи закони Ома для ділянки кола, а також значення U_L та і_С проведемо перетворення законів Кірхгофа, щоб отримати диференціальне рівняння відносно однієї з незалежних змінних (U_C чи i_L):

	(4.6)
	(4.7)
i2=	(4.8)
iR1R1 = iR2R2 + UC +	(4.9)

Враховуючи, що R = R₁ = R₂ = 50 Ом та вирази (4.4), (4.7), (4.8), перепишемо вираз під номером (4.9):

i1R= i2R + UC +	(4.10)
i1= i2+ + UC/R	(4.11)

Підставляємо отримане значення i₁ в формулу (4.4), а також використовуємо значення струму з (4.8)

J = i2+i2+ + UC = 2 i2+ + UC/R	(4.12)
J = 2 + + UC/R	(4.13)

Незалежною змінною обираємо падіння напруги на ємності.

Визначаємо примушені складові струму через індуктивність та падіння напруги на конденсаторі: при t®¥ всі перехідні процеси закінчаться, і, відповідно, опір ємності =¥, а опір індуктивності =0. Складаємо еквівалентну схему кола при настанні постійного режиму:

і_1.np

J R1

U_R1.np

рис. 4.2

i2.пр = 0 А	(4.12)
і1.np = J = 1,0 А	(4.13)
UC.np = UR1.np = і1.np*R1 = 1*50 = 50 В	(4.14)
UL = 0 В	(4.15)

Визначаємо вільну складову U_C для неї отримуємо рівняння:

LC +2R + UC =0

(4.16)

Ми отримали диференціальне рівняння другого порядку. Для визначення вільної складової складаємо характеристичне рівняння:

LCр2+2RСр+ 1=0	(4.17)
р1,2 =	(4.18)
р1,2=	(4.18а)
р1,2 » -500±250	(4.18б)
р1 » -250

р₂» -750

(4.19)

 

У випадку коли корені характеристичного рівняння не рівні між собою і дійсні, то рішення диференціального рівняння другого порядку має вид:

(4.20)

Підставляючи відомі данні, отримуємо:

	(4.21а)
	(4.22)

 

Для знаходження постійних інтегрування А₁ та А₂ використовуємо початкові умови:

	(4.23)
A1 +А2=-50	(4.23a)

Для знаходження А₂ нам потрібне додатковерівняння, яке отримуємо з і_L(0) і виразу (4.8):

iL=
i(0)=	(4.24)
-250А1 -750 А2 = 0	(4.24a)
А1 = -3 А2	(4.24б)

Підставляючи (4.24б) в (4.23а), одержимо:

A2 = 25 В

(4.25)

З (4.24б) А₁ буде:

A1 = -75 В

(4.26)

Перепишемо рівняння (4.22), ставлячи замість постійних інтегрування їх значення:

(4.27)

Знаходимо i₂ з формули (4.8)

i2 ==	(4.28)
	(4.29)
	(4.29а)

Знаходимо U_L за допомогою формули (4.7):

	(4.30)
UL	(4.30a)

 

UL= -25е-250t+75e—750t

(4.30б)

З формули (4.4) отримуємо значення струму через опір R₁:

i1 = J – i2 = 1-

(4.31)

Знаходимо U_R1 і U_R2 з законів Ома для ділянки кола:

UR =ІRR
UR1=R1*i1 = R1(1-)	(4.32)
UR1=50-50e—250t+50e—750t	(4.32a)
UR2=R2*i2 = R2()	(4.33)
UR2=50e—250t – 50e—750t	(4.33a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПЕРАТОРНИЙ МЕТОД

Для кола після комутації записуємо систему рівнянь Кірхгофа для миттєвих значень. Потім всі величини заміняємо їхніми зображеннями, і отриману систему рівнянь вирішуємо щодо зображення шуканої величини, — тобто виражаємо всі зображення струмів і напруг через шукану величину й через початкові умови.

Початкові умови беремо з класичного методу:

iL(0) = iL(0-) = iL(0+) = 0 А	(5.1)
Uc(0) = Uc(0-) = Uc(0+) = 0 B	(5.2)

Для розрахунків використовуємо схему на рис 4.1

J = i1 + i2	(5.3)
i2 = iR2 = iC = iL	(5.4)
UR1 = UR2 + UC + UL	(5.5)

Поводимо перетворення виразу (5.5), використовуючи закон Ома в різних формах:

iR1R1 = iR2R2 + +	(5.6)
і1 = і2 + +	(5.7)

Підставляємо (5.7) в (5.3):

J = і2 + + + i2	(5.8)
J = 2і2 + +	(5.9)

Здійснюємо перехід від оригіналів до зображень, користуючись властивостями перетворень Лапласа: J = J/p, і®І (р), R®R, інтегрування ® на, диференціювання ® р.

 

Перепишемо формулу (5.9) згідно з вищенаведеними властивостями.

2І2(р) + + = J/p	(5.10)
І2(р)(2+ +) = J/p	(5.11)
	(5.11а)

Для переходу від зображень до оригіналів використовуємо формулу теореми розкладання:

Х(t) = Σ [F₁(р_k)/ F^‘₂ (р_k)]·e^Pkt (5.12)

де р_k корені характеристичного рівняння, яке отримуємо прирівнявши) до нуля; F^‘₂(р) – перша похідна від F₂(p).

Знаходимо корені характеристичного рівняння (знаменник формули (5.9) прирівнюємо до нуля)

=0

(5.13)

Рівняння (5.13) зівпадає з рівнянням (3.17) і його корені згідно (3.18) – (3.19) будуть рівні:

р1 » -250

р₂» -750

(5.14)

 

Розраховуємо чисельні значення для підстановки в (5.12)

F‘2(р) = 2LCp + 2RC	(5.15)
F‘2(р1)=2*0,1*53,33*10-6*(-250) + 2*50*53,33*10-6 = 0,0026665	(5.15a)
F‘2(р2)=2*0,1*53,33*10-6*(-750) + 2*50*53,33*10-6= -0,0026665	(5.15б)
F1(р1) = F1(р2)= 1*50*53,33*10-6= 0,0026665	(5.16)

Підставляємо значення (5.15а) – (5.16) в формулу (5.12)

і2 = е-250t(0,0026665)/(0,0026665)+ е-750t( LINK Word.Document.8 «C:\\Documents and Settings\\Evgen\\Local Settings\\Temp\\_tc\\М_н_стерство осв_ти _ науки України.doc» _Hlk103862272 \a \r Ошибка! Ошибка связи.)/( LINK Word.Document.8 «C:\\Documents and Settings\\Evgen\\Local Settings\\Temp\\_tc\\М_н_стерство осв_ти _ науки України.doc» OLE_LINK3 \a \r Ошибка! Ошибка связи.)	(5.17)
	(5.17a)

Примушені складові знаходимо як і в попередньому методі і отримуємо для падіння напруги на ємності:

UС.пр = 50 В

(5.18)

Знаходимо U_С

UС =	(5.19)
UС = UС.пр.+1/53,33*10-6	(5.20)
UС = 50 — 75+25	(5.20а)

Знаходимо U_L за допомогою формули (3.7):

	(5.21)
UL	(5.21a)
UL= -25е-250t+75e—750t	(5.21б)

З формули (5.3) отримуємо значення струму через опір R₁:

i1 = J – i2 = 1-

(5.22)

Знаходимо U_R1 і U_R2 з законів Ома для ділянки кола:

UR =ІRR
UR1=R1*i1 = R1(1-)	(5.23)
UR1=50-50e—250t+50e—750t	(5.23a)
UR2=R2*i2 = R2()	(5.24)
UR2=50e—250t – 50e—750t	(5.24a)

 

 

 

 

 

МЕТОД ЗМІННИХ СТАНІВ

Використовуємо попередньо вирахувані значення початкових умов:

iL(0) = iL(0-) = iL(0+) = 0 А	(6.1)
Uc(0) = Uc(0-) = Uc(0+) =0 B	(6.2)

Для розрахунків використовуємо рис. 3-1

Складаємо рівняння кола після комутації, використовуючи закони Кірхгофа ( закон струмів і закон напруг).

J = i1 + i2	(6.3)
i2 = iR2 = iC = iL	(6.4)
UR1 = UR2 + UC + UL	(6.5)

Проводимо перетворення виразів (6.3) – (6.5) так, щоб виразити похідні незалежних змінних через самі незалежні зміні та характеристики джерела живлення, знаючи значення U_L та i_L.

i2=	(6.6)
iR1R1 = iR2R2 + +	(6.7)
і1 = і2 + +	(6.8)
J = i2 + і2 + +	(6.9)

Записуємо систему для знаходження похідних незалежних змінних через самі незалежні зміні та характеристики джерела живлення:

=	(6.10)
= 0*UC+ i2/C+0*J

 

 

Запишемо систему (6.10) в матричній формі

(6.11)

Незалежною змінною обираємо U_C:

UC = UC.пр + UC.св

(6-9)

Розраховуємо примушені складові беремо як у попередньому методі (класичному):

i2.пр = 0 А	(6.10)
і1.np = J = 1,0 А	(6.11)
UC.np = UR1.np = і1.np*R1 = 1*50 = 50 В	(6.12)
UL = 0 В	(6.13)

Визначаємо швидкість зміни незалежних змінних на момент часу t=0

 

 

.

(6.14)

 

Підставляючи початкові умови та значення параметрів кола, отримуємо:

В/с

 

.

(6.14а)

 

 

 

 

Складаємо характеристичне рівняння на основі матриці [А – p1], яку прирівнюємо до нуля, і знаходимо його корені:

 

 

«теорія електричних і електронних кіл»=Перехідні процеси становлять основу роботи багатьох пристроїв і в цьому розумінні є баж»теорія електричних і електронних кіл» =Перехідні процеси становлять основу роботи багатьох пристроїв і в цьому розумінні є бажаними. Використання їх дає змогу формувати сигнали різної форми, які необхідні для конкретного практичного застосування. З іншого боку, вони спричинюють зниження швидкодії апаратури, вихід із ладу її елементів унаслідок істотного перевищення «перехідних» миттєвих значень порівняно з максимально допустимими. Саме через ці факти і виникла необхідність розраховувати перехідні процеси, щоб передбачити наслідки тих чи інших дій, а також для практичного застосування цих процесів./td/td/R/ta»теорія електричних і електронних кіл» =h1/s= sup/tbodyub де р supblesuptable border=»0″ cellspacing=»0″ cellpadding=»0″ align=»left»subаними. Використання їх дає змогу формувати сигнали різної форми, які необхідні для конкретного практичного застосування. З іншого боку, вони спричинюють зниження швидкодії апаратури, вихід із ладу її елементів унаслідок істотного перевищення «перехідних» миттєвих значень порівняно з максимально допустимими. Саме через ці факти і виникла необхідність розраховувати перехідні процеси, щоб передбачити наслідки тих чи інших дій, а також для практичного застосування цих процесів./td/td/R/table де рsup/tbody + U

р2 + + =0	(6.16)
р1,2 =	(6.17)
р1,2=	(6.17а)
р1,2 » -500±200	(6.17б)
р1 » -250

р₂» -750

(6.18)

«теорія електричних і електронних кіл» /td+75e/sup/sub

Записуємо вираз для напруги на конденсаторі:

	(6.19)
	(6.20)

Знаходимо постійні інтегрування А₁ та А₂. Для цього підставляємо початкові умови.

	(6.21)
A1 +А2=-50	(6.21a)

Для знаходження А₂ нам потрібне додатковерівняння, яке отримуємо з першої частини системи (6.14а.)

/sup/sup7/td/sup
width=»72″>(6.22)

p align=»center»tr/sup

 

-250А1 -750 А2 = 0	(6.22a)
А1 = -3А2	(6.22б)

Підставляючи (6.22б) в (6.21а), одержимо:

A2 = 25 В

(6.23)

З (6.22б) А₁ буде таким:

A1 = -75 В

(6.24)

Перепишемо рівняння (6.20), ставлячи замість постійних інтегрування їх значення:

(6.25)

Знаходимо i₂ з формули (6.6)

i2 ==	(6.26)
	(6.27)
	(6.27а)

Знаходимо U_L за допомогою закону Ома:

	(6.28)
UL	(6.28a)
UL= -25е-250t+75e—750t	(6.28б)

З формули (6.3) отримуємо значення струму через опір R₁:

i1 = J – i2 = 1-

(6.29)

Знаходимо U_R1 і U_R2 з законів Ома для ділянки кола:

UR =ІRR
UR1=R1*i1 = R1(1-)	(6.30)
UR1=50-50e—250t+50e—750t	(6.30a)
UR2=R2*i2 = R2()	(6.31)
UR2=50e—250t – 50e—750t	(6.31a)

ПОБУДОВА ГРАФІЧНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ

 

Визначаємо період перехідного процесу за формулою:

Т ≈ (3,5-4,5) / р ;

 

(7.1)

Т ≈ 4.5/250 ≈ 0,020

(7.1а)

 

Визначаємо крок осі t за формулою:

Δt = Т / (20 ± 5);

 

(7.2)

Δt = 0,02/20 = 0,001 с.

(7.2а)

 

Будуємо графік залежності струму через R₁ (графік 7.1), використовуючи для розрахунків формулу (6.29), результати заносимо в таблицю 7.1.

i1 = 1-

Будуємо графік залежності струму через індуктивність(графік 7.1), використовуючи для розрахунків формулу (6.27а), результати заносимо в таблицю 7.1.

Будуємо графік падіння напруги на конденсаторі (графік 7.2), вико-ристовуючи формулу (6.25), результати розрахунків заносимо в таблицю 6.1:

Будуємо графік падіння напруги на індуктивності (графік 7.2), вико-ристовуючи формулу (6.28б), результати розрахунків заносимо в таблицю 7.1:

UL= -25е-250t+75e—750t

Будуємо графік падіння напруги на резисторах (графік 7.2), використовуючи формулу (6.30a), (6.31a), результати розрахунків заносимо в таблицю 7.1:

UR1=50-50e—250t+50e—750t
UR2=50e—250t – 50e—750t

 

Таблиця 6.1

t, мс	і1, А	і2, А	UС, В	UL, В	UR1, В	UR2, В
0,000	1,000	0,000	0	50	50	0
0,001	0,694	0,306	3	16	35	15
0,002	0,617	0,383	10	2	31	19
0,003	0,633	0,367	17	-4	32	18
0,004	0,682	0,318	24	-5	34	16
0,005	0,737	0,263	29	-5	37	13
0,006	0,788	0,212	34	-5	39	11
0,007	0,831	0,169	37	-4	42	8
0,008	0,867	0,133	40	-3	43	7
0,009	0,896	0,104	42	-3	45	5
0,010	0,918	0,082	44	-2	46	4
0,011	0,936	0,064	45	-2	47	3
0,012	0,950	0,050	46	-1	48	2
0,013	0,961	0,039	47	-1	48	2
0,014	0,970	0,030	48	-1	48	2
0,015	0,976	0,024	48	-1	49	1
0,016	0,982	0,018	49	0	49	1
0,017	0,986	0,014	49	0	49	1
0,018	0,989	0,011	49	0	49	1
0,019	0,991	0,009	49	0	50	0
0,020	0,993	0,007	49	0	50	0

Графік 6-1

Графік 6-2

 

ВИСНОВОК

Аналіз даних графіків (6-1) — (6-2) показує, що протягом усього періоду часу заряджається ємність С, енергія береться з джерела струму. В цей же час з моменту часу t = 0 до моменту t₂ » 2 мс заряджається індуктивність, а опісля вона розряджається. це пояснюється тим що, в початковий момент часу опір індуктивності дорівнює безкінечності і поступово зменшується на всьому проміжку дослідження (це видно із аналізу падіння напруги на індуктивності). В той же час опір ємності дорівнює нулю в початковий момент часу і поступово зростає до безкінечності це пояснюється тим що на ній поступово падає вся напруга джерела енергії. Цим і пояснюється вид графіку струму через ємність і індуктивність.

Коливання мають аперіодичний режим і займають в часі проміжок 20 мс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Попов В.А. Основи теорії кіл. – М.: «Высшая школа», 1985 р.
2. М.Б. Гумін та ін. Основи теорії електричних кіл у 3-х кн. Кн. 1 Аналіз лінійних кіл. Часова область. – К. «Вища школа», 2003 р.
3. Г.В. Зевеке, Г.А. Ионкин. Основы теории цепей. – М. «Энэргоатомиздат», 1989 г.
4. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи. В 3-х кн. – М. «Энэргия», 1978 г.
5. Бирюкова В.Н. и др. Сборник задач по теории цепей. – М. «Высшая школа», 1985 г.
6. Методичні вказівки до виконання курсової роботи по «ТЕ і ЕК»/ Фролов О.М., Курак В.В. –Херсон, 2003 р.

td width=»72″ /pp align=»center»

r/td/td

sub/trU /psuptr-
/td/td/td

/td(6.27а)R1 tbody
/td
(6.27а)R1 /td/td
/td2
/tdnbsp;

p0,082li

p align=»center»Г.В. Зевеке, Г.А. Ионкин. Основы теории цепей. – М. «Энэргоатомиздат», 1989 г.

/ptd valign=»bottom» nowrap=»nowrap» width=»14%»/td

/td/pp align=»center»

p align=»center»p 0,831p align=»center»/pp align=»center»

та А td valign=»bottom» nowrap=»nowrap» width=»14%»/p

/td/p= -25е/table