Расчетно–графическая работа по теории вероятностей (ТВГТУ)

Расчетно–графическая работа по теории вероятностей (ТВГТУ)

вариант 18 без задания 11

ВАРИАНТ 1

1. В урне 4 черных, 6 белых и 5 красных шаров. Наудачу извлечены 7 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 черных, 3 белых и 2 красных шара.
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует его внимания, равна 0,2; второй — 0,25, третий — 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют какие-либо два станка; все три станка.
3. Вероятности безотказной работы элементов электрической цепи равны

соответственно

P₁  0,98;

P₂  0,93;

P₃  0,85;

P₄  0,90;

P₅  0,95.

Найти

вероятность отказа цепи.

1. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной продукции для первого станка 0,03, для второго — 0,02 и для третьего — 0,01. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а производительность третьего в два раза больше, чем у второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь из бункера окажется годной?
2. Вероятность надежной работы конструкции при приложении расчетной нагрузки равна 0,96. Найти вероятность того, что из 10 конструкций, испытанных независимо друг от друга, больше двух выйдут из строя.
3. Вероятность выхода из строя каждого из 900 независимо работающих элементов некоторого узла в течение заданного времени равна 0,1. Найти вероятность того, что по истечении заданного времени будут работать 800 элементов; будут работать от 800 до 850 элементов.
4. В бригаде 8 рабочих, из них 5 учатся. Наудачу по списку отобраны 3 человека. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — числа рабочих, которые учатся, среди рабочих.
5. Случайная величина X задана рядом распределения

X	-1	0,7	1,5	4
P	0,2	0,4	0,1	…

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Z  2X ² 1,5X .

1. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0015. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: хотя бы одно изделие; не более одного изделия.
2. Плотность вероятностей случайной величины X равна



f (x)  

(2a





0

 x) / 2a²

0

при при при

x  0, 0  x  2a,

x  2a.

Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность

P(a<X<1,5a).

1. Диаметр детали — нормально распределенная случайная величина с параметрами: a  75мм,   2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 74 мм до 76,4 мм; отличается от «a» не более, чем на 1,4 мм. Какое отклонение диаметра от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,92? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 2

1. В партии из 7 деталей 5 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что среди них 2 детали стандартны?
2. В поисках нужной книги студент опрашивает 3-х товарищей. Вероятности получить нужную книгу у 1-го, 2-го, 3-го товарищей соответственно равны 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность того, что студент получит книгу у одного из товарищей.
3. Вероятность работы каждого из независимо работающих элементов электрической

цепи

p  0,95. Найти вероятность работы цепи.

1. Часы изготавливаютcя на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% всей продукции, второй — 35%, третий — 25%. Из продукции первого завода спешат 10 % часов, у второго – 15 %, у третьего – 20 %. Какова вероятность того, что купленные часы спешат?
2. Вероятность выхода из строя конструкции при приложении расчетной нагрузки 0,05. Какова вероятность того, что из восьми конструкций, испытанных независимо друг от друга, не менее шести выдержат нагрузку?
3. Произведено 100 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле – 0,95. Найти вероятность того, что попали 96 раз; не менее 96 раз.
4. Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х — числа работающих элементов в одном опыте.
5. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения. Найти

дисперсию случайной величины

Z  3X ²  2Y .

Х	0,4	0,6	1,25	2		Y	0,5	1,5	2
Р	0,25	0,15	0,2	…		P	0,4	0,1	…

1. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что будет повреждено не более трех изделий.
2. Плотность вероятностей случайной величины Х равна



f (x)  

0

²  1)

при при

x  1, 1  x  2,

с(x

 при

0



x  2.

Найти коэффициент «с», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(1,5<X<2).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена

по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина)

a 120

мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 116,5 мм и не более 123,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 117,2 мм. Какое отклонение длины детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,99?

ВАРИАНТ 3

1. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся три женщины.
2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем или четвертом ящиках соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что нужная деталь содержится не менее чем в двух ящиках.
3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента равна P=0,9.

1. На автобазе имеется 80 грузовых и 20 легковых автомашин. Вероятность того, что грузовая машина неисправна, равна 0,08, а легковая — 0,05. Найти вероятность того, что наудачу по номеру вызванная автомашина окажется исправной.
2. Произведено 12 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что будет не менее двух промахов в цель.
3. Событие B появится в том случае, если событие A наступит не менее 150 раз. Найти вероятность появления события B, если произведено 200 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,7.
4. На складе имеются 8 покрышек, из них 3 — изношенных. Наудачу отобраны 3 покрышки. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа годных покрышек среди отобранных.
5. Случайная величина X задана рядом распределения. Найти математическое

ожидание и дисперсию величины

Z  2X  3X ².

X	-0,3	0,5	1	2
P	0,2	0,2	0,25	…

Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено ровно три изделия; менее трех.

1. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

 0 при x  1,

f (x)  a(x  1) при 1  x  3,



 при x  3.

0



Найти коэффициент «а», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(1<X<1,5).

11.Aвтомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена

по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина)

a  135

мм. Фактическая длина изготовленных деталей 131< X < 139 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 133 мм. Какое отклонение длины детали от «а» можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 4

1. В группе 16 студентов, среди которых 4 отличника. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 3 отличника.
2. ОТК проверяет изделия на соответствие стандарту. Вероятность того, что первое изделие стандартно, равна 0,8, второе — 0,9, третье — 0,95. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только одно стандартно; хотя бы одно стандартно.
3. Электрическая цепь состоит из последовательно и параллельно соединенных элементов, работающих независимо. Вероятности работы каждого из элементов

равны

P₁  0,95,

P₂  0,90,

P₃  0,85,

P₄  0,75,

P₅  0,80.

Найти вероятность

работы цепи.

1. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых; во второй — 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров взяли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
2. Вероятность безотказной работы каждого из семи независимо работающих элементов некоторого устройства равна 0,85. Найти вероятность того, что выйдут из строя не более трех элементов.
3. Испытывается каждый из 120 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание ровно 110 элементов; более 110 элементов.
4. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки.
5. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения

X	-2	0,5	1	3
P	0,2	0,4	0,1	…

Y	-3	2	4
P	0,3	0,2	…

Найти дисперсию случайной величины

Z  2X ² 1,5Y .

1. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной бракованной.
2. Плотность вероятностей случайной величины X равна

 0

f (x)   3

при при

x  0,

0  x  1,

сx

 при

0



x  1.

Найти коэффициент «с», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0,5<X<1).

1. Диаметр детали — нормально распределенная случайная величина X с параметрами: a  70 мм,   1,8 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали из партии составит от 69 мм до 70,9 мм; отличается от «a» не более, чем на 1,5 мм. Какое отклонение диаметра от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,93? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 5

1. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что 2 детали среди извлеченных окажутся окрашенными.
2. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что одно из трех наудачу взятых изделий окажется высшего сорта, равна 0,85, другое — 0,95, третье — 0,75. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий не менее двух будут высшего сорта.
3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, изображенной на рисунке, если вероятность отказа каждого из независимо работающих элементов равна 0,15.

1. Три цеха производят одинаковые детали, которые поступают на общую сборку. Вероятность изготовления стандартной детали в первом цехе — 0,93, во втором — 0,88, в третьем — 0,85. Первый цех имеет три технологические линии, второй — две, третий — одну (линии одинаковой производительности). Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь на сборке окажется нестандартной.
2. Вероятность выхода из строя каждого из 9 независимо работающих элементов некоторого узла в течение времени t равна 0,1. Найти вероятность того, что по истечении времени t будут работать не менее 7 элементов.
3. Электрическая цепь состоит из 100 параллельно включенных потребителей. Веро- ятность надежной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи отсутству- ет. Найти вероятность того, что откажет менее 5% от общего числа потребителей; ровно 5% потребителей.
4. В комплекте из 12 изделий имеются 8 изделий первого сорта и 4 второго. Наудачу отобраны 3 изделия. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — числа изделий второго сорта среди отобранных.
5. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения. Найти

математическое ожидание и дисперсию величины

Z  2X ²  3X  1.

X	-2	0,5	1	3
P	0,2	0,4	0,1	…

1. Коммутатор учреждения обслуживает 200 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонит хотя бы один абонент; не более одного абонента.
2. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

 0

f (x)  

при при

x  0,

0  x   / 6,

b cos 3x

 при

0



x   / 6.

Найти коэффициент «b», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0<X<π/12).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =125 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 122,4<X<127,6 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 123,4 мм. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,98?

ВАРИАНТ 6

1. На складе имеются 10 покрышек, из них 2 изношенных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 покрышек окажутся 4 годных.
2. Неисправность может возникнуть в одном из 4-х блоков устройства. Вероятность возникновения неисправности в первом блоке равна 0,20, во втором — 0,15, в третьем и в четвертом — 0,10. Найти вероятность появления неисправности только в одном блоке; хотя бы в одном блоке.
3. Найти вероятность работы электрической цепи, изображенной на рисунке, если вероятность отказа каждого из независимо работающих элементов равна 0,1.

1. На сборке находятся детали, изготовленные на 3-х конвейерах, причем деталей, изготовленных на первом конвейере вдвое больше, чем изготовленных на втором конвейере и в 1,5 раза больше, чем изготовленных на третьем. Вероятности того, что деталь высокого качества, равны 0,8 для первого конвейера, 0,75 — для второго конвейера и 0,7 для третьего. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь на сборке будет высокого качества.
2. Произведено 10 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле 0,9. Найти вероятность не менее 8 попаданий.
3. Автотранспортное предприятие имеет 180 автобусов. Вероятность выхода на ли- нию каждого автобуса равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы предприя- тия в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 160 ав- тобусов, ровно 160 автобусов.
4. Найти закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений шестерки при четырех подбрасываниях игральной кости.
5. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения

Х	2	2,5	3	4		Y	0,8	1,4	2
Р	0,1	…	0,3	0,2		P	0,3	0,5	…

Найти дисперсию случайной величины

Z  3X  2Y ² .

1. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят менее трех абонентов.
2. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

 0

 ax

при при

x  0, 0  x  1,

f (x)  a( 2  x)



при

1  x  2,

 0

при

x  2.

Найти коэффициент «a», интегральную функцию распределения F(X), M(X), D(X) и вероятность P(0,5<X<1,5).

1. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х — случайная величина,

распределенная по нормальному закону с параметрами

a  21,0 см,  =1,2 см.

Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20 и 21,9 см. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,90; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно «a», будут лежать практически все размеры деталей?

ВАРИАНТ 7

1. В комплекте 12 деталей 1-го сорта и 6 — второго. Наудачу вынимаются 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажутся 3 детали первого сорта.
2. В урне 5 белых и 4 красных шара, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будет не менее двух красных.
3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, coстоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента равна 0,98.

1. Комплект состоит из 16 деталей завода № 1, 12 деталей завода № 2 и 22 деталей завода № 3. Вероятности того, что деталь низкого качества соответственно равны 0,08 для первого завода, 0,06 — для второго завода и 0,1 для третьего. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь из комплекта будет высокого качества.
2. Событие В появится в том случае, если событие А наступит не менее двух раз. Найти вероятность появления события В, если произведено шесть независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.
3. Автобаза обслуживает 140 магазинов. От каждого из них заявка на автомашины на следующий день может поступить с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что поступит не менее 110 и не более 120 заявок; ровно 110 заявок.
4. В команде 9 спортсменов, из них 4 — первого разряда и 5 — второго. Наудачу отобраны 3 спортсмена. Найти ряд распределения дискретной случайной величины Х — числа спортсменов второго разряда среди отобранных.
5. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения

X 0,8 1,4 2

P 0,3 0,5 …

Найти

M (2X ² 1,2X ) и

D(2X ² 1,2X ).

1. Коммутатор учреждения обслуживает 200 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение минуты позвонят более двух абонентов.
2. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

 0 при x  0,

f (x)   sin 2x при 0  x   / 2,

с

 при x   / 2.

0



Найти коэффициент «c», интегральную функцию распределения F(x),

M(X), D(X) и вероятность

P( / 6  X   / 3).

1. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х — случайная величина,

распределенная по нормальному закону с параметрами

a  23,0 см,  = =1,6 см.

Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно «a», будут лежать практически все размеры деталей?

ВАРИАНТ 8

1. В партии 8 изделий первого сорта и 7 второго. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 6 изделий окажутся 3 изделия первого сорта.
2. В урне 7 белых и 5 красных шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу извлекаются 4 шара. Найти вероятность того, что среди них будет не менее трех красных.
3. Найти вероятность работы электрической цепи, изображенной на рисунке, если вероятность отказа каждого из независимо работающих элементов равна 0,1.

1. В коробке 10 деталей завода № 1, 15 деталей завода № 2 и 25 деталей завода №3. Вероятности того, что деталь высокого качества равны соответственно 0,95 для первого завода, 0,85 для второго и 0,7 для третьего. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь из коробки будет высокого качества.
2. Испытывается каждый из 12 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которое выдержит испытание и его вероятность; вероятность того, что выдержат испытание более 9 элементов.
3. Две равносильные ЭВМ играют шахматный матч. Что вероятнее: выиграть (ничей- ный результат исключается) не менее двух партий из четырёх, от 20 до 30 партий из 40 или ровно 20 партий из 40?
4. Написать закон распределения числа появлений герба при четырех подбрасываниях монеты.
5. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения

Х	-2	0,8	1,5	2		Y	-1	1	1,5
Р	0,4	0,15	0,2	…		P	0,2	0,5	…

Найти дисперсию случайной величины

Z  Y ²  2X ² .

1. Учебник издан тиражом 200000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,00001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно две бракованные книги; не более двух бракованных книг.
2. Плотность вероятностей случайной величины X равна

 0 при x  0,

f (x)   cos 2x при 0  x   / 4,

a

 при x   / 4.

0



Найти коэффициент «a», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0<X<π/6).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =145 мм. Фактическая длина изготовленных изделий 140,5<X<149,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 147,7 мм. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,94?

ВАРИАНТ 9

1. Cреди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрываются 7 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?
2. В урне 4 белых и 6 красных шаров. Наудачу извлекаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется менее двух красных шаров.
3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента равна 0,95.

1. Два завода выпускают одинаковые изделия. Вероятность брака для 1-го завода равна 0,05, для 2-го — 0,10. Первый завод имеет два конвейера; второй — один конвейер. Детали с заводов поступают на склад. Найти вероятность того, что наудачу взятая на складе деталь будет годной.
2. Электрическая цепь состоит из 7 параллельно включенных потребителей. Вероятность надежной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее половины потребителей.
3. Что вероятнее — выиграть у равносильного противника (ничейный результат ис- ключается) не менее трех партий из пяти, не менее 30 партий из 50 или ровно 30 партий из 50?
4. В команде 11 спортсменов, из них 7 первого разряда и 4 второго. Наудачу выбраны 3 спортсмена. Найти ряд распределения дискретной случайной величины X — числа спортсменов первого разряда среди отобранных.
5. Случайная величина X задана рядом распределения

X	-2	1,2	1,5	3
P	0,2	0,15	0,4	…

Найти

M (2X ²  X ) и

D(2X ²  X ).

1. При штамповке металлических клемм получается в среднем 98% годных. Какова вероятность того, что среди 200 клемм будут две; более двух бракованных?
2. Плотность вероятностей случайной величины X равна

 0 при x  0,

f (x)   sin x при 0  x   ,

a

 при x   .

0



Найти коэффициент « a «, интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X)

и вероятность P(0<X<2π/3).

1. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a =22,0 см,  = =1,4 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20 и 24,1 см. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,90; 0,95? В каких пределах, симметричных относительно «a», будут лежать практически все размеры деталей?

ВАРИАНТ 10

1. Бригада рабочих, состоящая из 6 сборщиков и 10 разнорабочих, произвольным образом делится на 2 равные группы. Какова вероятность того, что в каждой группе окажется одинаковое число сборщиков?
2. В урне 7 черных и 5 желтых шаров. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 4-х шаров окажется более 2-х желтых.
3. Вероятность работы каждого элемента Р=0,9. Определить, какая из двух электрических цепей надежнее.

1. Три станка штампуют однотипные детали. Первый вырабатывает 45% всех деталей, второй — 35%, третий — 20%. При этом каждый из станков штампует нестандартных деталей в среднем соответственно 2,5%; 2%; 1,5%. Найти вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь стандартна.
2. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой машины равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 9 автомашин.
3. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартна, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 200 взятых наудачу деталей окажется не более 20 не- стандартных; ровно 20 нестандартных деталей.
4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Производится четыре выстрела. Составить закон распределения числа попаданий.
5. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения

2	3	1,5	-2	0,6	1,5	2
0,35	0,25	…	0,15	0,5	0,15	…

Найти дисперсию случайной величины Z=5Y²-3X.

1. При штамповке металлических клемм получается в среднем 99% годных. Найти вероятность того, что среди 500 клемм будет хотя бы одна бракованная; не более двух бракованных.
2. Плотность вероятностей случайной величины X равна:

 0 при x  0,

f (x)   cos x при 0  x   / 2,

a

 при x   / 2.

0



Найти коэффициент «a», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0<X< π/4).

1. Диаметр детали — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a =60 мм,  =1,5 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 58 мм до 62,4 мм; отличается от «a» не более, чем на 1,2 мм? Какое отклонение диаметра детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры практически всех изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 11

1. Для проведения лабораторных работ группа студентов, в которой 10 студентов и 6 студенток, произвольным образом делится на 2 равные подгруппы. Найти вероятность того, что в каждой подгруппе окажется по одинаковому числу студенток.
2. На книжной полке 8 журналов, из которых 5 в переплете. Наудачу взяты 4 журнала. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трех в переплете.
3. Найти вероятность надежной работы электрической цепи, cостоящей из пяти элементов, если вероятности отказа каждого из элементов соответственно равны:

P₁  0,03;

P₂  0,05;

P3  P4

 0,04;

P₅  0,02.

1. В двух урнах имеются шары: в первой — 7 красных и 5 желтых, во второй — 10 красных и 4 желтых. Извлекаются из первой урны 2 шара, а из второй — 1 шар. Из этих трех шаров затем наудачу извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар красный.
2. Автобаза обслуживает 12 магазинов. От каждого из них заявка на автомашины на следующий день может поступить с вероятностью 0,4. Найти наивероятнейшее число заявок на следующий день и вероятность получения автобазой такого числа заявок, а также вероятность того, что поступит не более 9-ти заявок.
3. В системе установлено 200 независимо работающих предохранителей. Для каждого из них вероятность выхода из строя по истечении заданного времени работы равна 0,05. Если вышло из строя менее 20 предохранителей, то система не требует ремон- та. Найти: вероятность выхода из строя 20 потребителей; вероятность того, что си- стема не потребует ремонта по истечении заданного времени работы.
4. В коробке находятся 5 деталей первого сорта и 3 — второго сорта. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — числа деталей второго сорта среди 4-х отобранных.
5. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

0,5	0,7	1,2	2
0,3	0,2	0,1	…

Найти

M (2X ²  5) и

D(2X ²  5).

1. Радиоаппаратура состоит из 800 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,005 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и более двух элементов за год?
2. Дифференциальная функция распределения f(x) случайной величины Х равна:



f (x)  

0

 0,5)

при

при

x  1, 1  x  2,

a(x

 при

0



x  2.

Найти коэффициент «a», интегральную функцию распределения F(x), M(X) и D(X),

вероятность P(1<X< 1,5).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 131 < <X <139 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 133 мм. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 12

1. У сборщика имеется 10 деталей, мало отличающихся по внешнему виду. Из них 6 деталей первого сорта, а 4 — второго. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых 5 деталей окажутся 3 первого сорта?
2. В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Наудачу извлекаются четыре детали. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трех окрашенных.
3. Вероятности работы каждого из элементов электрической цепи равны

соответственно

p1  p2

 0,95,

p₃  0,90,

p₄  p₅  0,85,

p₆  0,8.

Найти вероятность безотказной работы цепи.

1. В двух урнах находятся шары. В первой — 6 белых и 4 черных, во второй — 8 белых и 2 черных. Извлекаются из первой урны 2 шара и из второй — один. Из этих трех шаров наудачу извлекается один шар. Найти вероятность того, что последний шар белый.
2. Два равносильных шахматиста играют матч. Что вероятнее: выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти?
3. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 600 взятых случайным образом деталей окажется от 500 до 530 стандартных; ровно 500 стандартных.
4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Составить закон распределения числа промахов при пяти выстрелах.
5. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения

-2	0,8	1,5	2	-0,8	0,6	1,5	4
0,35	0,25	0,4	…	0,25	0,35	0,2	…

Найти среднее квадратическое отклонение величины

Z  2Y ²  X .

1. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа не менее трех и ровно трех элементов за год?
2. Случайная величина X задана плотностью вероятностей



f (x)  

3





0

sin 3x 0

при при

при

x   / 6,

 / 6  x   / 3,

x   / 3.

Найти: F(x), M(X) и

P( / 4  X   / 3).

1. На станке изготавливается партия деталей. Длина детали Х — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a =22,5 см и  =1,5 см. Найти: вероятность того, что длина детали будет заключена между 21 и 24,5 см; какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,91; 0,99? В каких пределах, симметричных относительно «a», будут лежать практически все размеры деталей?

ВАРИАНТ 13

1. У сборщика имеется 14 деталей, не отличающихся по внешнему виду, из них 8 — первого сорта, а 6 — второго. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных 9-ти деталей 4 окажутся второго сорта.
2. Вероятности того, что нужная деталь содержится в 1-ом, 2-ом, 3-ем или 4-ом ящиках соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что нужная деталь находится не более, чем в двух ящиках.
3. Вероятности надежной работы каждого из 6-ти элементов электрической цепи

равны соответственно

p₁  0,98,

p₂  0,96,

p₃  0,94,

p₄  0,90,

p₅  p₆  0,90.

Найти вероятность безотказной работы цепи.

1. В ящике содержится 12 деталей завода № 1, 20 деталей завода № 2 и 18 деталей завода № 3. Вероятности того, что выбранная деталь — отличного качества, равны 0,9 для первого завода, 0,85 для второго и 0,8 для третьего. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного качества.
2. Что вероятнее — выиграть у равносильного противника (ничейный результат исключается) не менее трех партий из четырех или не менее шести партий из восьми?
3. Вероятность того, что станок — автомат в течение смены потребует внимания рабо- чего, равна 0,2. Предполагается, что неполадки на станках независимые. Найти ве- роятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют менее 15 стан- ков из 50, обслуживаемых им; ровно 15 станков.
4. В коробке находятся 6 деталей 1-го сорта и 4 детали 2-го сорта. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа деталей первого сорта среди отобранных.
5. Случайная величина X задана законом распределения

4	5	6
0,5	0,3	…

Найти

M (2X ²  3X  1) и

D(2X ²  3X 1).

1. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется не более одной нестандартной детали; хотя бы одна нестандартная деталь.
2. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:

 0

 x / 3

при при

x  0,

0  x  2,

f (x)   2x / 3  2



при

2  x  3,

 0

при

x  3.

Найти: интегральную функцию распределения F(X), математическое ожидание

M(X) и дисперсию D(X), вероятность P(1<X<2,5).

1. Диаметр детали — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a =55 мм и  =1,4 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 53 мм до 57,1 мм; отличается от «a» не более, чем на 0,7? Какое отклонение диаметра детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каком интервале с вероятностью 0,9973 заключены диаметры изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 14

1. В комплекте из 16 деталей 4 детали с дефектами. 9 отобранных наудачу деталей подвергаются контролю. Комплект будет признан годным, если среди них окажутся

2 детали с дефектами. Найти вероятность того, что комплект будет признан годным.

1. В урне 8 черных и 4 желтых шара. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 4-х шаров окажется не более двух желтых.
2. Какая из двух электрических цепей надежнее, если вероятность выхода из строя каждого отдельного элемента цепи равна 0,1?

1. В двух урнах содержатся шары. В первой — 8 белых и 12 черных, во второй — 9 белых и 11 черных. Из первой урны извлекается 1 шар, из второй — 2, а затем из этих трех шаров извлекается один. Найти вероятность того, что он окажется белым.
2. В приборе стоят 6 независимо работающих предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть после 1000 часов работы равна 0,4. Если перегорело не менее 4-х предохранителей, то прибор требует ремонта. Найти вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы.
3. Испытывается каждый из 150 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание более 130 элементов; ровно 130 элементов.
4. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. В проверяемой партии 4 изделия. Составить закон распределения числа нестандартных изделий среди проверяемых.
5. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения

-2	0,5	1	3	-1,5	0,8	1,6
0,2	0,4	0,3	…	0,4	0,5	…

Найти среднее квадратическое отклонение величины

Z  2X ² 1,5Y.

1. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется более трех нестандартных.
2. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:



f (x)  

0

 2)² / 4

при

при

x  2,

 2  x  0,

a(x

 при

0



x  0.

Найти коэффициент «a», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(-1<X<0).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =140 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в диапазоне 137,75<X<142,25. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 141,7 мм. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины всех проверенных деталей?

ВАРИАНТ 15

1. В партии, содержащей 11 деталей, 4 бракованных. Наудачу выбраны 5 деталей. Партия будет забракована, если среди отобранных деталей окажутся две бракованных. Найти вероятность того, что партия будет признана негодной.
2. В урне 3 черных и 7 красных шаров. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных пяти шаров окажется не менее трех красных.
3.  Найти вероятность надежной работы электрической цепи, изображенной на рисунке, если вероятность выхода из строя каждого из независимо работающих элементов цепи равна 0,005.
4. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления стандартной детали для станка № 1 равна 0,96, для станка № 2 равна 0,92. Станок

№ 1 изготавливает в 1,5 раза меньше деталей, чем станок № 2. Найти вероятность того, что взятая наудачу на сборке деталь окажется нестандартной.

1. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартна, равна 0,9. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу деталей окажется не более двух нестандартных.
2. На участке 90 станков. Вероятность работы каждого из них — 0.85. Найти вероят- ность того, что в данный момент работают не менее 80 из них; ровно 80 станков.
3. В урне находится 7 красных и 5 черных шаров. Наудачу извлекаются 3 шара. Составить ряд распределения дискретной случайной величины X — числа красных шаров среди отобранных.
4. Ряд распределения случайной величины X задан в виде таблицы

-3	2	1	4
0,2	0,3	0,3	…

Найти

M (2X ²  0,5X ) и

D(2X ²  0,5X ).

1. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется не менее трех нестандартных деталей.
2. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:



f (x)  

bx





0

² / 2

0

при при при

x  0,

0  x  2,

x  2.

Найти коэффициент «b», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0<X<1).

1. Диаметр детали — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a =50 мм,  =1,2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали из партии: составит от 49 мм до 51,5 мм; отличается от «a» не более, чем на 0,9 мм; какое отклонение диаметра от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,97? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры всех изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 16

1. Из партии, содержащей 14 деталей, среди которых 4 бракованных, наудачу отобраны 7 деталей. Партия будет признана годной, если среди отобранных деталей окажется 6 годных. Найти вероятность того, что партия будет признана годной.
2. Вероятность безотказной работы первого из четырех элементов устройства равна

p₁  0,9, второго

p₂  0,85, третьего

p₃  0,75 и четвертого

p₄  0,65. Найти

вероятность выхода из строя двух элементов устройства.

1. Найти вероятность отказа электрической цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность надежной работы каждого элемента равна 0,9.

1. На сборку поступило 500 деталей с первого станка, 400 деталей со второго и 200 деталей с третьего. Первый станок дает 0,6% брака, второй — 0,25%, а третий — 0,5%. Найти вероятность того, что деталь, взятая наудачу из нерассортированной продукции станков, окажется небракованной.
2. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии нестандартна, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди шести взятых случайным образом деталей окажется не менее половины стандартных.
3. На автобазе 120 машин. Вероятность выезда на линию каждой из них – 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент на линии работает не менее ста машин; ровно 100 машин.
4. В урне 9 шаров, среди которых 5 белых, а остальные — черные. Наудачу извлекаются 3 шара. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа черных шаров среди отобранных.
5. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид

	1	2	3	4
Р	0,1	0,3	0,35	…

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Z  3X ²  2X  4.

1. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 400 деталей не менее трех бракованных; ровно три бракованных.
2. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:



f (x)  

ax





0

² / 9

0

при при при

x  0,

0  x  3,

x  3.

Найти коэффициент «a», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0<X<2).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена

по нормальному закону с параметрами a =145 мм,

  1 мм. Найти вероятность

того, что длина наудачу взятой детали будет больше 143,5 мм и меньше 146 мм. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,94? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины деталей?

ВАРИАНТ 17

1. Комплект из 18 деталей, содержащий 6 окрашенных деталей, произвольным образом делится на две равные группы. Какова вероятность того, что в каждой группе окажутся по три окрашенных детали?
2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в 1-ой, 2-ой, 3-ей или 4- ой коробках, равны соответственно 0,6, 0,75, 0,7 и 0,4. Найти вероятность того, что нужная сборщику деталь находится более чем в двух коробках.
3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность отказа каждого элемента одинакова и равна q = 0,05.

1. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена заводом № 1, на 30% — заводом № 2 и на 50% — заводом № 3. Для завода № 1 вероятность выпуска бракованной лампочки равна 0,004, для завода № 2 — 0,005, а для завода № 3 — 0,006. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампочка окажется бракованной?
2. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,4. Предполагается, что неполадки на станках независимые. Найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют не менее двух станков из четырех, обслуживаемых им.
3. Из партии деталей отобраны для контроля 210 штук. Известно, что доля стандарт- ных деталей во всей партии составляет 90 %. Найти вероятность того, что более 190 деталей окажутся стандартными; ровно 190 деталей окажутся стандартными.
4. В комплекте 80 % окрашенных деталей, остальные — не окрашены. Наудачу отобраны три детали. Составить ряд распределения дискретной случайной величины Х — числа окрашенных деталей среди отобранных.
5. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

1 2 3

0,2 0,5 …

Найти

M ( X ²  2X ) и

D( X ²  2X ).

1. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более двух не выдержат испытание.
2. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей



f (x)  

0

 1)

при при

x  1,

 1  x  1,

c(x

 при

0



x  1.

Найти: коэффициент «c», интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и

вероятность

P(0  X  0,5)..

1. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a =23,5 см и  =1,7 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 26 см. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,9; 0,95? В каких пределах будут лежать размеры практически всех деталей?

ВАРИАНТ 18

1. Колода из 52-х карт произвольно делится пополам. Найти вероятность того, что в каждой половине будет ровно по два туза.
2. В приборе имеются четыре блока. Вероятность выхода из строя за время T блока №

1 равна

p₁  0,18,

№ 2:

p₂  0,15,

№ 3:

p₃  0,12

и № 4:

p₄  0,1.

Найти

вероятность того, что за время T выйдет из строя хотя бы один блок; только один блок.

1. Определить, какая из двух функциональных цепей надежнее, если вероятности надежной работы каждого из элементов равны соответственно

p1  0,8

p₂  0,6;

p₃  0,75;

p  0,85.

1. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из группы № 1 четыре студента, из группы № 2 — шесть и из группы № 3 — пять студентов. Вероятность того, что выбранный студент из первой группы попадет в сборную команду, равна 0,5, из второй- 0,4, из третьей- 0,3. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в сборную.
2. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагается, что неполадки на станках независимые. Найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют не более двух станков из четырех, обслуживаемых им.
3. Из большой партии деталей отбирают для контроля 500 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 10%. Найти вероятность того, что от 440 до 470 деталей окажутся стандартными; ровно 440 деталей окажутся стандартными.
4. В комплекте 9 деталей, среди которых шесть нужного размера. Наудачу отобраны четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа деталей нужного размера среди отобранных.
5. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения. Найти

дисперсию случайной величины

Z  X ²  2Y.

-1	1,5	2	-1,5	0,8	1,6
0,2	0,5	0,3	0,2	0,5	…

1. Аппаратура содержит 2000 независимых элементов. Вероятность отказа каждого из них равна 0,0005. Какова вероятность отказа хотя бы одного элемента; менее трех элементов?
2. Плотность вероятностей случайной величины X задана графически:

Найти коэффициент β и написать выражение для f(x); интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0<x<0,5).

1. Диаметр изготавливаемой в цехе партии деталей является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: a = =40 мм,  =0,8 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составит от 39 мм до 42 мм; отличается от «a» не более чем на 1 мм. Какое отклонение диаметра от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,99? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 19

1. Для уменьшения общего количества игр на соревнованиях 14 команд разбиты по жребию на две подгруппы по 7 команд в каждой. Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах.
2. В урне 8 синих и 7 зеленых шаров. Наудачу извлекаются 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее 5 синих.
3. Вероятность работы каждого из элементов электрических цепей одинакова и равна p = 0,95. Элементы работают независимо. Определить, какая из двух цепей надежнее.

1. Вероятности того, что во время работы ЭЦВМ произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти или в остальных устройствах относятся как 3,5:2,5:4,0. Вероятности обнаружения сбоя в них соответственно равны 0,9, 0,95, 0,85. Найти вероятность того, что возникающий в машине сбой будет обнаружен.
2. На участке четыре станка. Вероятность надежной работы каждого из них — 0,85. Найти вероятность того, что в данный момент работает менее трех из них.
3. Со склада отбирают 300 автопокрышек. Доля изношенных покрышек в отобранной партии составляет 15 %. Найти вероятность того, что более 270-ти покрышек ока- жутся неизношенными; ровно 270 автопокрышек окажутся неизношенными.
4. В партии 15% нестандартных деталей. Наудачу отобраны три детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.
5. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

Х	-1	0	0,5	1,2	2
Р	0,1	0,05	0,2	0,3	…

Найти

M ( X ²  X  1) и

D( X ²  X  1).

1. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 500 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной бракованной.
2. Плотность вероятностей f(x) случайной величины X задана графически:

Найти коэффициенты  и  и написать выражение для f(x). Опреде лить интегральную функцию распределения F(x), дисперсию D(X) и вероятность P(-0,5<x<0).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =150 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в пределах 145 ÷ 155 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 152 мм. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,93? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 20

1. В партии из 15 изделий есть 5 бракованных. 7 наудачу выбранных изделий подвергаются контролю. Партия будет принята, если среди них окажется 4 годных. Найти вероятность того, что партия будет принята.
2. В урне 8 синих и 7 красных шаров. Найти вероятность того, что среди 9 наудачу извлеченных шаров окажется более 6 синих.
3. Вероятность работы элементов каждой цепи одинакова и равна p =0,8. Элементы работают независимо. Определить, какая из этих двух цепей надежнее.

1. В двух урнах находятся шары. В первой — 9 красных и 8 синих, во второй — 11 красных и 6 синих. Из первой урны вынут один шар и переложен во вторую. Затем из второй урны извлекается наудачу один шар. Найти вероятность того, что это синий шар.
2. В типографии 4 машины. Вероятность надежной работы каждой из них — 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент в типографии работает не менее 3-х машин.
3. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна, равна 0,92. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 600 деталей менее 50 окажутся нестандартными; ровно 50 деталей окажутся нестандартными.
4. В урне 6 белых и 2 черных шара. Наудачу извлечены 5 шаров. Составить ряд распределения числа белых шаров среди извлеченных.
5. Случайные величины X и Y заданы рядами распределения. Найти среднее

квадратическое отклонение случайной величины:

Z  3X  Y ².

X	0,5	2	3	3,5		Y	2,5	3	4,5
P	0,25	0,4	0,15	…		P	0,5	0,3	…

1. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется более четырех неточно собранных.
2. Плотность вероятностей f(x) задана графически:

Найти аналитическое выражение для f(x). Определить функцию распределения

F(x), M(X), D(X) и вероятность P(-0,5<X<0).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =158 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в пределах 157,6 ÷ 158,4 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 158,2 мм. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 21

1. В партии из 14 изделий 5 бракованных. 6 наудачу выбранных изделий из партии подвергаются контролю. Партия будет принята, если среди них окажется 2 бракованных детали. Найти вероятность того, что партия будет принята.
2. В коробке лежат 12 белых и 8 красных шаров, одинаковых на ощупь. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что красных шаров вынуто не более двух?
3.  Найти вероятность выхода из строя электрической цепи, показанной на рисунке, если вероятность работы каждого элемента одна и та же и равна p = 0,93.
4. В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,98; для полуавтомата эта вероятность равна 0,95. Студент проводит расчет на наудачу выбранной машине. Чему равна вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя?
5. Из партии деталей отобраны для контроля 12 штук. Известно, что доля стандартных деталей во всей партии составляет 85%. Найти вероятность того, что более 9 деталей окажутся стандартными.
6. Электрическая цепь состоит из 600 параллельно включенных потребителей. Веро- ятность отказа каждого из них равна 0,1, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее 40 потребителей; ровно 40 потребите- лей.
7. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х — числа нестандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределения Х.
8. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения:

-2	2	2,5	3
0,2	0,4	0,1	…

Найти

M (3X  2X ² ) и

D(3X  2X ² ).

1. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется не менее трех бракованных.
2. Плотность вероятностей случайной величины X задана графически.

Найти аналитическое выражение для f(x); интегральную функцию распределения

F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0,25<X<1).

1. Диаметр изготовляемой в цехе партии деталей является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: a = =45 мм,  = 1 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составляет от 44 до 47 мм, отличается от «a» не более, чем на 1,1 мм. Какое отклонение диаметра детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 22

1. Из полной колоды карт (52 штуки) извлекаются наугад сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут: тройка, семерка, туз.
2. Устройство состоит из 4 узлов, каждый из которых в течение времени t может

выйти из строя. Вероятность выхода из строя за время t первого узла

p₁  0,2,

второго узла

p₂  0,15, третьего

p₃  0,1, четвертого

p₄  0,12. Найти вероятность

того, что за время t выйдут из строя два узла.

1. Найти вероятность надежной работы электрической цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность выхода из строя каждого элемента одинакова и равна q = 0,05.

1. В двух урнах находятся шары. В первой — 6 белых и 3 черных, во второй — 4 белых и 7 черных. Из второй урны вынут один шар и переложен в первую. Затем из первой урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный.
2. Из партии деталей отбирают для контроля 10 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 20%. Найти вероятность того, что не менее 8 деталей окажутся стандартными.
3. Испытывается каждый из 1400 элементов некоторого устройства. Вероятность то- го, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что вы- держат испытание от 1250 до 1300 элементов; ровно 1250 элементов.
4. В комплекте 10 деталей, из них 7 деталей первого сорта, остальные второго. Наудачу извлечены 4 детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.
5. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид

-5	2	3	4
0,1	0,3	0,4	…

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Z  X ²  2X .

1. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется не более 4-х бракованных.
2. Плотность вероятностей случайной величины Х задана графически

Найти аналитическое выражение для плотности f(x); интегральную функцию распределения F(x), M(X) и вероятность P(1<X<1,5).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =155 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 149,5 < Х < 160,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 157,2 мм. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,92? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 23

1. Партия содержит 12 изделий, из которых 6 подвергают контролю. Партия не принимается, если среди них будет обнаружено два бракованных изделия. Найти вероятность того, что партия не будет принята, если число бракованных изделий во всей партии равно трем.
2. Прибор состоит из 3-х независимо работающих узлов, каждый из которых может в течение времени t выйти из строя. Вероятность безотказной работы за время t

первого узла равна

p₁  0,8 , второго узла

p₂  0,9 , третьего —

p₃  0,7 . Найти

вероятность того, что за время t выйдут из строя ровно 2 узла; хотя бы 1 узел; все 3 узла.

1. Найти вероятность отказа электрической цепи, изображенной на рисунке, если вероятность надежной работы каждого элемента одна и та же и равна p =0,93.

1. В 4-х урнах белые и черные шары, одинаковые на ощупь. В первой — 3 белых и 1 черный шар, во второй — 6 белых и 4 черных, в третьей — 9 белых и 1 черный, в четвертой — 2 белых и 5 черных. Из наудачу выбранной урны случайным образом вынимается 1 шар. Найти вероятность того, что он белый.
2. Из партии деталей отбирают для контроля 10 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 15%. Найти вероятность того, что не более двух деталей окажутся стандартными.
3. Из партии пневматических шин отбираются 700 штук. Известно, что доля негодных шин во всей партии составляет 10%. Найти вероятность того, что не менее 620 и не более 660 шин окажутся годными; ровно 640 шин окажутся годными.
4. Устройство состоит из 3-х элементов, работающих независимо. Вероятность работы элемента в одном испытании равна 0,85. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — числа отказавших элементов в одном испытании.
5. Независимые случайные величины Х и Y заданы рядами распределения. Найти

дисперсию случайной величины

Z  3X  2Y ² .

1	3	5	6	1,5	2	2,5
0,2	0,3	0,4	…	0,2	0,5	…

1. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей будет не менее трех бракованных.
2. Плотность вероятностей случайной величины Х задана графически:

Найти: аналитическое выражение для f(x), интегральную функцию распределения

F(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность P(0<X<0,5).

1. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a =25 см,  =2 см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 23 и 26,4 см. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,85; 0,95? В каких пределах будут лежать практически все размеры деталей?

ВАРИАНТ 24

1. В коробке находится 6 деталей 1-го сорта, 7- второго и 4 — третьего сорта. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных восьми деталей окажутся 3 детали первого сорта; 3 детали второго сорта и 2 — третьего сорта.
2. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает 1-ый сигнализатор, равна 0,9, 2-ой — 0,85, 3-ий — 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработают два сигнализатора; все три.
3. Вероятности работы каждого из элементов электрической цепи равны

соответственно

p1  0,95,

p2  0,93,

p3  0,9 и

p4  0,85. Определить какая из двух

электрических цепей более надежна.

1. В телеателье имеются 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы соответственно равны 0,2, 0,85, 0,9, 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
2. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/8. Найти вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет не более, чем по двум билетам.
3. Контролируется работа каждого из 100 узлов устройства. Вероятность того, что узел окажется неисправным, равна 0,2. Найти вероятность того, что не менее 70 уз- лов окажутся исправными; ровно 70 узлов окажутся исправными.
4. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — числа стандартных деталей среди отобранных.
5. Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределения:

2	3	4,5	0,5	1	2,5	3
0,15	0,6	…	0,2	0,1	0,3	…

Найти дисперсию случайной величины

Z  X ²  3Y.

1. Вероятность нарушения герметичности баллона равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 баллонов окажется хотя бы один негерметичный; менее двух негерметичных.
2. Плотность вероятностей f(x) случайной величины X задана графически:

Написать аналитическое выражение для f (x), найти интегральную функцию

распределения

F (x), вычислить математическое ожидание

M ( X )

и дисперсию

D( X ), определить вероятность

P(1 X  0).

1. Диаметр изготавливаемой в цехе партии деталей является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a = =80 мм,  =2,2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составит от 79 до 81,8 мм. С какой вероятностью он отличается от математического ожидания не более, чем на 1,8 мм? Какое отклонение диаметра детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 25

1. В ящике лежат 5 красных, 7 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу извлекаются 6 шаров. Какова вероятность того, что будут вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара?
2. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что первое изделие стандартно, равна 0,95, вероятность того, что стандартно второе изделие, равна 0,98. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.
3. Вероятность выхода из строя каждого из независимо работающих элементов электрической цепи p = 0,05. Определить, какая из двух электрических цепей надежнее.

1. В пирамиде установлены 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при первом выстреле из винтовки с прицелом равна 0,95, для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
2. Электрическая цепь состоит из 6 параллельно включенных потребителей. Вероятность отказа каждого из них равна 0,2, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет не менее половины потребителей.
3. На заводе – автомате 800 станков. Вероятность отказа каждого из них 0,1. Найти вероятность того, что в данный момент времени работают от 700 до 750 станков; ровно 700 станков.
4. Устройство состоит из 4-х элементов, работающих независимо. Вероятность надежной работы каждого элемента в одном испытании равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х — числа отказавших элементов в одном опыте.
5. Независимые дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределения:

 

1 2 4 7

0,1 0,2 0,5 …

3 1,5 5

0,4 0,1 …

Найти среднее квадратическое отклонение величины

Z  2X  3Y ² .

1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Найти вероятность того, что за время t откажут более двух элементов.
2.  Плотность вероятностей случайной величины X задана графиком

Написать аналитическое выражение для f (x), найти интегральную функцию

распределения

P(0  X  0,5).

F (x), вычислить дисперсию

D( X ), определить вероятность

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =160 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 154 мм и не более 166 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 163 мм. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 26

1. На стеллаже в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что из взятых учебников 2 окажутся в переплете.
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
3. Вероятность безотказной работы каждого элемента электрической цепи одна и та же и равна p = 0,96. Найти вероятность отказа цепи.

1. Станок 1/3 своего времени обрабатывает деталь № 1 и 2/3 времени — деталь № 2. При обработке детали № 1 он стоит 15% времени, а при обработке детали № 2 — 9% времени. Какова вероятность застать станок стоящим?
2. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание и его вероятность, а также вероятность того, что выдержат испытание более 12 элементов.
3. Вероятность того, что наудачу взятый подшипник из партии стандартный, равна 0,92. Найти вероятность того, что среди отобранных наудачу 600 подшипников ме- нее 60 окажутся нестандартными; ровно 60 окажутся нестандартными.
4. В урне из 7 шаров 5 красных, а остальные белые. Наудачу извлекаются 4 шара. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — числа красных шаров среди отобранных.
5. Случайные величины Х и Y независимы и подчинены законам распределения:

1	4	5	2	3	4	6
0,15	0,6	…	0,2	0,3	0,3	…

Найти среднее квадратическое отклонение величины

Z  2X ²  3Y.

1. Вероятность нарушения герметичности баллона равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 500 баллонов окажется более трех негерметичных баллонов.
2. Плотность вероятностей случайной величины Х равна:



f (x)  

2(с





0

 x)² / c²

0

при при при

x  0, 0  x  c,

x  c.

Найти: интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X), вероятность

Р(0<X< c /2).

1. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х — случайная величина, распределен- ная по нормальному закону с параметрами a = 25 cм,  = 2 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 24 см и 27 см. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,9; 0,99? В каких пре- делах будут лежать практически все размеры детали?

ВАРИАНТ 27

1. Колода из 36 карт делится наугад на 2 равные части. Найти вероятность того, что в каждой части окажется по 2 туза.

1. В соревнованиях участвуют 16 команд, из которых случайным образом формируются 2 группы по 8 команд в каждой. Среди участников имеется 5 сильных команд. Найти вероятность того, что в одну группу попадут 2 сильные команды, а в другую — 3.
2. Вероятности безотказной работы каждого из элементов электрических цепей,

показанных на рисунке, соответственно равны:

p5  0,85. Какая цепь надежнее?

p₁  p₂  0,95;

p₃  0,93;

p₄  0,9;

1. В комплекте содержатся детали 3-х типов. Известно, что деталей первого типа в 1,5 раза больше, чем деталей второго и в 2 раза больше, чем деталей 3-го типа. Вероятность того, что детали первого типа окажутся низкого качества, равна 0,1, второго типа — 0,15, а третьего- 0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая из комплекта деталь окажется высокого качества.
2. Из партии деталей отобраны для контроля 8 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 15%. Найти вероятность того, что не менее шести деталей окажутся стандартными.
3. Вероятность надежной работы конструкции при приложении нагрузки равна 0,9. Найти вероятность того, что из 150 конструкций, испытанных независимо друг от друга, не более 20 выйдут из строя; ровно 20 выйдут из строя.
4. В комплекте 20% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х — числа стандартных деталей среди отобранных.
5. Случайные величины Х и Y заданы рядами распределения

X	-2	1,5	3	4	-1,5	1	3
P	0,3	0,4	0,2	…	0,4	0,35	…

Найти среднее квадратическое отклонение величины

Z  2X 1,5Y ².

1. Автомат изготавливает детали. Вероятность того, что изготавливаемая деталь окажется стандартной, равна 0,995. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется более двух бракованных.
2. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей:

 0 при x  3,

f (x)   3x² / 4  6x  45 / 4 при 3  x  5,



 при x  5.

0



Найти интегральную функцию распределения F(x), М(X) и D(X), вероятность попадания Х в интервал (3,5; 4,5).

1. Диаметр детали — нормально распределенная случайная величина с параметрами a =85 мм,  =2,4 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали из партии составит от 84 мм до 87 мм, вероятность отклонения диаметра от «a» не более чем на 1,6 мм. Какое отклонение диаметра от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,9? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 28

1. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются 2 группы по 9 команд. Среди них имеется 6 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что в каждую группу попадут по 3 команды экстра-класса.
2. Устройство состоит из 4-х независимых узлов. Вероятность отказа 1-го узла равна 0,1, 2-го — 0,12, 3-го — 0,15 и 4-го — 0,2. Найти вероятность надежной работы двух; трех узлов.
3. Вероятность безотказной работы каждого из независимо работающих элементов функциональной цепи равна 0,8. Найти вероятность отказа цепи, изображенной на рисунке.

1. На сборку поступают детали четырех типов. Деталей первого типа в 1,5 раза меньше, чем деталей второго типа, в 2 раза меньше, чем деталей третьего типа и столько же, сколько деталей четвертого типа. Вероятность того, что деталь первого типа окажется годной, равна 0,9, второго типа — 0,85, третьего — 0,9 и четвертого типа — 0,75. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется бракованной.
2. Контролируется работа каждого из 10 узлов устройства. Вероятность того, что узел окажется неисправным, равна 0,2. Найти наивероятнейшее число узлов k*, которые выдержат проверку и вероятность того, что не менее k* узлов окажутся исправными.
3. Вероятность выхода из строя узла конструкции при приложении расчётной нагруз- ки 0,05. Какова вероятность того, что из 800 узлов, испытанных независимо друг от друга, не менее 750 выдержат нагрузку; ровно 750 выдержат нагрузку?
4. В партии 10 деталей, из них 7 стандартных, остальные нестандартные. Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — числа нестандартных деталей среди отобранных.
5. Случайные величины Х и Y заданы рядами распределения.

-2	1,5	2	3	-2	-1	2,5
0,3	0,4	0,2	…	0,35	0,25	…

Найти среднее квадратическое отклонение величины

Z  3X  Y ²  4.

1. Найти вероятность того, что среди 2000 деталей окажется более 3-х нестандартных, если вероятность изготовления стандартной детали равна 0,998.
2. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей

 0 при x  2,

f (x)   3/ 4x²  9 / 2x  6 при 2  x  4,



 при x  4.

0



Найти: F(x), M(X), D(X), P(2,5<X<3,5).

1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 115 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 112<X<118. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 113 мм. Какое отклонение длины от

«a» можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 29

1. На складе имеются 15 кинескопов, из них 5, исчерпавших ресурс. Найти вероятность того, что среди 5-ти взятых наудачу кинескопов окажутся 2 кинескопа, исчерпавших ресурс работы.
2. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,8, для третьего 0,9. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков; хотя бы один стрелок.
3. Вероятности безотказной работы каждого из независимо работающих элементов электрической цепи (см. рис.) равны соответственно:

P₁  P₂  0,95;

отказа цепи.

P3  P4  P5  0,9;

P₆  P₇  0,85;

P₈  0,8.

Найти вероятность

1. В двух урнах находятся шары: в первой 14 красных и 6 зеленых; во второй 15 красных и 8 зеленых. Из первой урны вынуты 2 шара и переложены во вторую. Затем из второй урны извлекается наудачу один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар зеленый?
2. На участке 8 станков. Вероятность отказа каждого из них 0,1. Найти вероятность того, что в момент времени t работает не менее половины станков.
3. Произведено 1200 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что будет от 160 до 200 прома- хов в цель; ровно 180 промахов в цель.
4. Устройство состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента в одном испытании равна 0,9. Составить закон распределения числа отказавших элементов при одном испытании.
5. Случайные величины Х и Y заданы рядами распределения

-1,5	-0,5	2	-2	-1	1,5	3
0,25	0,35	…	0,4	0,3	0,2	…

Найти среднее квадратическое отклонение величины

Z  2X 1,5Y ².

1. Устройство состоит из 4-х независимо работающих однотипных элементов. Вероятность надежной работы каждого элемента равна 0,995. Найти вероятность того, что работают не менее трех элементов.
2. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей:



f (x)  

a(x





0

²  2x)

0

при при при

x  0, 0  x  1,

x  1.

Найти коэффициент «a», интегральную функцию распределения F(x), М(X), D(X) и вероятность попадания Х в интервал (0,2; 0,8).

1. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a =20 см,  =1,1 см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 19 см и 21,1 см. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,9; 0,99? В каких пределах будут лежать практически все размеры деталей?

ВАРИАНТ 30

1. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся по внешнему виду. Из них 6 деталей первого сорта, а 4 – второго. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 деталей 3 окажутся первого сорта?
2. В урне 7 черных шаров и 5 желтых шаров. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 4-х шаров окажется более 2-х желтых.
3. Вероятность отказа каждого из независимо работающих элементов электрической

цепи равна

P  0,05. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи.

1. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления стандартной детали для первого станка равна 0,96, а для второго станка — 0,92. Детали складываются в одном месте, причем первый станок изготавливает в 1,5 раза меньше деталей, чем второй. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется нестандартной.
2. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна, равна 0,92. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу шести деталей не менее двух окажутся нестандартными.
3. Вероятность безотказной работы каждого из 700 независимо работающих элемен- тов некоторого устройства равна 0,85. Найти вероятность того, что выйдут из строя от 80 до 120 элементов; ровно 100 элементов.
4. Устройство состоит из 4-х элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность надежной работы каждого элемента в одном испытании равна 0,9. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа отказавших элементов в одном опыте.
5. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения.

-2	1,5	2	3	-1,5	0	2
0,1	0,3	0,2	…	0,3	0,2	…

Найти среднее квадратическое отклонение величины

Z  2X ²  3Y .

1. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной бракованной.
2. Плотность вероятностей f(x) случайной величины X задана графически

Найти: аналитическое выражение для f(x); интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность P(0,5<X<1,2). 11.На станке изготавливается деталь. Ее длина Х — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a =23,5 см и  =1,7 см.

Найти вероятность того, что длина детали заключена между 23 см и 25 см. Какое отклонение длины детали от «a» можно гарантировать с вероятностью 0,9; 0,95? В каких пределах лежат практически все размеры деталей?