Теория вероятности и Теория случайных величин

Вариант 1

Теория вероятностей

1. Внутрь квадрата наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри треугольника, вершины которого являются серединами трех сторон квадрата.
2. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?
3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
4. Имеются помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?
5. В урне находятся 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 белых шарика. Найти вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым.
6. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что на выпавших гранях четные значения.
7. Среди 6 ламп имеется одна неисправная. Лампы включают по очереди до выявления неисправной. Найти вероятность того, что эксперимент закончится на
8. лампе.
9. В урне 2 белых и 1 черный шар. Извлекают по очереди два шара, причем после первого извлечения шар возвращается в урну. Найти вероятность того, что оба шара белые.
10. Вероятность появления некоторого события в одном испытании равна 0,3. Опыты проводятся до появления указанного события. Найти вероятность того, что придется проводить третий опыт.
11. Бросают игральную кость до появления на грани кубика 2 очков. Найти вероятность того, что эксперимент закончится на третьем броске.
12. По цели производится 4 выстрела. Вероятность попадания в одном выстреле равна p  0, 3 . Найти вероятность того, что в цель попали ровно 3 раза.
13. Найти вероятность того, что в результате четырех бросков монеты выпадет более 2 раз орел.
14. В первой урне 2 черных и 3 белых шаров. Во второй урне 2 черных и 1 белый шаров. Из наудачу выбранной урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что шар черный.
15. Один из двух стрелков произвѐл выстрел по мишени. Вероятности попадания

для каждого стрелка соответственно равны p₁  0, 4 , p₂  0, 7 . Цель поражена.

Найти вероятность того, что стрелял второй стрелок.

1. Имеется пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, для винтовки без оптического прицела – 0,7. Найти вероятность того, что цель поражена из винтовки с оптическим прицелом.

Теория случайных величин

1. Дан графический закон распределения дискретной случайной величины (многоугольник распределения). Найти распределения случайной величины. Найти и построить функцию распределения случайной величины.

Деления по оси абсцисс на всех рисунках означает единичный отрезок

1. Дискретная случайная величина принимает значения 2, 5, 9 с соответствующими вероятностями 0,3, 0,1, p₃ . Найти математическое ожидание

случайной величины. Построить функцию распределения вероятностей.

1. Дан ряд распределения случайной величины:

Найти моду случайной величины X .

1. Дан ряд распределения случайной величины X :

значение случайной величины x₂ .

5. В урне 2 белых и 3 черных шара. Шары извлекаются из урны без возвращения до появления черного шара. Случайная величина X – количество извлеченных белых шаров. Найти ряд распределения случайной величины.

6. Стрелок производит 30 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0,4. Случайная величина X – количество попаданий. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

7. Дана функция распределения случайной величины X:

Найти параметры, функцию плотности и основные числовые характеристики.

1. Случайная величина X распределена по равномерному закону на отрезке [2;

10]. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал 2; 4.

Записать функции распределения и плотности. Найти основные числовые характеристики.

1. Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону с параметром   3. Найти функцию распределения вероятностей и функцию плотности случайной величины. Определить числовые характеристики. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал 2;3 .

10. Закон распределения случайной величины X задан функцией плотности

. Найти числовые характеристики случайной величины.

Вариант 4

Теория вероятностей

1. Внутрь правильного треугольника наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри треугольника, вершины которого являются серединами сторон исходного треугольника.
2. Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?
3. На плоскости даны 10 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих через любую другую из данных точек?
4. На полке стоят 12 книг. Надо взять 5 книг. Сколькими способами это можно сделать?
5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Найти вероятность того, что эта карта – туз.
6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку равна 0,6, вероятность ошибки у Ани 0,4. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.
7. Среди 6 ламп имеется 2 неисправных. Лампы включают по очереди до выявления обеих неисправных. Найти вероятность того, что эксперимент закончится на 3 лампе.
8. В урне 2 белых и 4 черных шара. Извлекают по очереди два шара, причем после первого извлечения шар возвращается в урну. Найти вероятность того, что оба шара белые.
9. В урне 6 белых шаров и 8 черных. Из урны извлекают шары до появления белого шара (без возвращения). Найти вероятность того, что будет проведено всего 3 опыта.
10. Бросают игральную кость до появления на грани кубика 3 очков. Найти вероятность того, что эксперимент закончится на втором броске.
11. По цели производится 4 выстрела. Вероятность попадания в одном выстреле равна p  0, 4 . Найти вероятность того, что в цель попали ровно 2 раза.
12. Найти вероятность того, что в результате пяти бросков игральной кости нечетное количество очков выпадет не менее 4 раз.
13. В первой урне 2 черных и 3 белых шаров. Во второй урне 1 черный и 2 белых шара. Из наудачу выбранной урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что шар белый.
14. Один из двух стрелков произвѐл выстрел по мишени. Вероятности попадания

для каждого стрелка соответственно равны p₁  0, 4 , p₂  0, 5 . Цель поражена.

Найти вероятность того, что стрелял первый стрелок.

1. Имеется пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, для винтовки без оптического прицела – 0,7. Цель не поражена. Найти вероятность того, что выстрел был из винтовки без оптического прицела.

Теория случайных величин

1. Дан графический закон распределения дискретной случайной величины (многоугольник распределения). Найти ряд распределения случайной величины. Найти и построить функцию распределения случайной величины.

Деления по оси абсцисс на всех рисунках означает единичный отрезок

1. Дискретная случайная величина принимает значения -1, 1, 2 с соответствующими вероятностями p₁ , 0,5, 0,3. Найти математическое ожидание

случайной величины. Построить функцию распределения вероятностей.

1. Дан ряд распределения случайной величины:

Найти моду случайной величины X .

1. Дан ряд распределения случайной величины X :

x₁  x₂ . Математическое ожидание M ( X )  3, 2 , дисперсия

D( X )  2,16 . Найти значение вероятности p₂ .

5. В урне 2 белых и 4 черных шара. Шары извлекаются из урны без возвращения до появления черного шара. Случайная величина X – количество извлеченных белых шаров. Найти ряд распределения случайной величины.

6. Стрелок производит 30 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0,6. Случайная величина X – количество промахов. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

7. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти параметры, функцию плотности и основные числовые характеристики.

1. Случайная величина X распределена по равномерному закону на отрезке [5; 7]. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал 6;9 . Записать

функции распределения и плотности. Найти основные числовые характеристики.

1. Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону с параметром  1 . Найти функцию распределения вероятностей и функцию плотности случайной величины. Определить числовые характеристики. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал 2; 3.

10. Закон распределения случайной величины X задан функцией плотности

. Найти числовые характеристики случайно